Son İletiler

11

2017 / Balkan Matematik Olimpiyatı 2017 Soru 3

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 17, 2024, 10:55:26 ös »

Her $m,n \in \mathbb Z^+$ için
$$n+f(m) \mid f(n)+nf(m)$$
şartını sağlayan tüm $f: \mathbb Z^+ \to \mathbb Z^+$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Arnavutluk)

12

2017 / Balkan Matematik Olimpiyatı 2017 Soru 1

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 17, 2024, 10:50:30 ös »

$$x^3+y^3=x^2+42xy+y^2$$
eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

13

2001 / Ynt: Balkan Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 3

« Son İleti Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ Nisan 17, 2024, 02:35:04 ös »

$\left(ab+bc+ca\right)^2\geq 3abc\left(a+b+c\right)$ bilinen eşitsizliği kullandığımızda
$$LHS=a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\geq \sqrt{3abc\left(a+b+c\right)}\geq abc\sqrt{3}$$
$$\Longleftrightarrow a+b+c\geq abc$$
ki bu problemde verilen koşulla özdeştir.

14

2004 / Balkan Matematik Olimpiyatı 2004 Soru 2

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 17, 2024, 02:26:44 ös »

$x^y-y^x=xy^2-19$  denklemini asal sayılarda çözünüz.

(Arnavutluk)

15

2001 / Balkan Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 3

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 17, 2024, 02:20:49 ös »

$a+b+c \geq abc$ şartını sağlayan $a,b,c$ pozitif reel sayıları için
$$a^2+b^2+c^2 \geq abc \sqrt3$$
eşitsizliğini kanıtlayınız.

(Romanya)

16

2000 / Balkan Matematik Olimpiyatı 2000 Soru 1

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 17, 2024, 02:11:19 ös »

Her $x,y \in \mathbb R$ için
$$f\Big(xf(x)+f(y) \Big) = f(x)^2+y$$
şartını sağlayan tüm $f: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Arnavutluk)

17

2009 / Balkan Matematik Olimpiyatı 2009 Soru 4

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 17, 2024, 01:52:21 ös »

Her $x,y \in \mathbb Z^+$ için
$$f\Big(f(m)^2+2f(n)^2\Big) =m^2+2n^2$$
şartını sağlayan tüm $f: \mathbb Z^+ \to \mathbb Z^+$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Bulgaristan)

18

2009 / Balkan Matematik Olimpiyatı 2009 Soru 1

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 17, 2024, 01:40:17 ös »

$3^x-5^y=z^2$  denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.

(Yunanistan)

19

2024 / Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 6

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 14, 2024, 04:57:43 ös »

$d$ pozitif tam sayısının hangi değerlerinde gerçel katsayılı ve derecesi $d$ olan öyle bir $P$ polinomu bulunur ki $P(0),P(1),P(2), \dots , P(d^2-d)$ sayıları arasında en fazla $d$ farklı değer vardır?

(Lüksemburg + Belçika)

20

2024 / Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 5

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 14, 2024, 04:53:06 ös »

Pozitif tam sayıların kümesini $\mathbb N$ ile gösterelim. Her $(x,y)$ pozitif tam sayı ikilisi için aşağıdaki şartları sağlayan tüm $f : \mathbb N \to \mathbb N$ fonksiyonlarını bulunuz:

    (i) $x$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı ile $f(x)$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı birbirlerine eşittir.

   (ii) $x$ sayısı $y$ sayısını bölmüyorsa ve $y$ sayısı $x$ sayısını bölmüyorsa $$ebob(f(x),f(y))>f(ebob(x,y))$$
        sağlanır.


$ebob(m,n)$ ile $m$ ve $n$ sayılarının ikisini de bölen en büyük pozitif tam sayı gösterilmektedir.

(Hırvatistan)