Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

$a,b,c$ pozitif reel sayıları $a+b+c=1$ koşulunu sağlıyorsa \[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+6 \geq 2\sqrt{2} \left ( \sqrt{\dfrac{1-a}{a}}+\sqrt{\dfrac{1-b}{b}}+\sqrt{\dfrac{1-c}{c}} \right) \] eşitsizliğini ispatlayınız.Eşitlik durumunu bulunuz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Soldaki ifadede aynı paydaları toplayarak yazıp düzenleyelim.

$\Longrightarrow \dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{a+b}{c}+6=\dfrac{1-a}{a}+2+\dfrac{1-b}{b}+2+\dfrac{1-c}{c}+2$    olur.  Son ifadede  $\dfrac{1-a}{a}+2$  ye ve buna benzeyen terimlere A.G.O uygulanırsa  $\dfrac{1-a}{a}+2 \ge 2 \sqrt{\dfrac{2-2a}{a}}$   bulunur.  Bu da istenen ifadedir. İspat biter. 

Eşitlik durumu  $\dfrac{1-a}{a}=2$  yani $a=b=c=\dfrac{1}{3}$  olduğunda olur.