Ardışık Toplam

[lazimoluyo]

k,n elemanıdır pozitif doğal sayılar olmak üzere;   1+2+...+k=(k+1)+(k+2)+...+n     şartını sağlayan 5 tane (k,n) ikilisi bulunuz.

[lazimoluyo]

Öğretmenim sordu işim içinden bir türlü çıkamadım lütfen yardımcı olun...

[Ferhat GÖLBOL]

 Çözümün bir kısmında bilgisayar kullandığım için işlemleri şu anda veremiyorum, ancak bulduğum en küçük (k,n) ikilileri

(2,3)  (14,20)  (84,119)  (492,696) ve (2870,4059)

[lazimoluyo]

Ferhat hocam çok teşekkürler ..Emeğinize sağlık

[Ferhat GÖLBOL]

İşinize yaramıştır umarım. Çözümümü de paylaşayım:

1+2+3+ ... +k = (k+1)+(k+2)+ ... +n
2(1+2+ ... +k) = 1+2+ ... +n
2k(k+1)/2 = n(n+1)/2
2k²+2k=n²+n
2k²+2k-n²-n=0  denklemini k'ya göre çözelim. Denklemin diskriminantı
4-4.2.(-n²-n)=4[n²+(n+1)²] 'dir. k tamsayı olduğundan diskriminant bir tam kare olmalıdır. O halde n²+(n+1)² ifadesi de tam kare olmalıdır.

Bu aşamadan sonrasını bilgisayar programıyla çözmüştüm (sorunun orijinal halini bilgisayara sormak aklıma gelmedi). İnternette bulduğum formülü paylaşayım:

n , kendisinin ve ardışığının kareleri toplamı tam kare olan bir tamsayı olsun.
n₁=3  (3²+4²=5²)  ve n₂=20 (20²+21²=29²) başlangıç değerleri için n_a+1=6n_a-n_a-1+2  formülüyle hesaplanan n tamsayılarının kendilerinin ve ardışıklarının kareleri toplamı da bir tam karedir (http://www.zekasorulari.net/tamsayi-kenarli-dikucgenler/). n değerlerini bulduktan sonra geriye kalan iş diskriminant bağıntısından k'yı hesaplamak.