denklem

[arthur coimbra]

x² + x = y⁴ + y³ +y² + y denkleminin tam sayılarda çözümlerini bulunuz.

[alpercay]

Sorunuzun aşikar çözümlerden başka çözümlerinin olmadığını sanıyordum fakat başka çözümler de varmış.Öğretmeniniz sorunuzu   "Analiz ve Cebirde İlginç Olimpiyat Problemleri ve Çözümleri"kitabından almış gözüküyor.Bu kitabın 1997 baskısında sayfa 195 de bir çözüm yapılmış.Kitabın taranmışı olmadığından çözümü ekleyemiyorum.Buna göre yanıtlar

(x,y) = (0,-1),(-1,-1),(0,0),(-1,0),(5,2),(-6,2)

şeklinde.

[alpercay]

Çözümü ekleyelim:
Çözüm eşitliğin sol tarafını tam kare yapmaya ve ardışık iki tam kare arasında tam kare sayı bulunamayacağı fikrine dayanıyor.Eşitliğin her iki tarafını  önce  4 ile çarpıp sonra  her iki tarafa 1 eklersek

 4(x² + x) = 4(y⁴ + y³ + y² + y) + 1
(2x + 1)² = (2y² + y)² + 3y² + 4y + 1 =(2y² + y + 1)² - (y² - 2y)

elde edilir.Dikkat edilirse  3y² + 4y + 1 > 0  ve  y² - 2y > 0 olması durumunda  (2x + 1)² sayısı  (2y² + y)² ile  (2y² + y + 1)² tam kare sayıları arasına düşecektir.Bunun olması için  y tam sayısının bu bu denklemlerin  tam sayı kökleri
 olan -1,0,2 ve  y² - 2y sayısını negatif yapan 1 değerlerinden başka değerleri alması gerekir. Fakat bu taktirde (2y² + y)² < (2x + 1)² < (2y² + y + 1)² olacak şekilde x tam sayısı bulunamayacağından denklemi sağlayan x tam sayıları da mevcut olmayacaktır.Bu durumda  denlemlerin kökleri olan ve yukardaki koşulu sağlayan y = -1, y = 0 , y = 1, y = 2  değerlerini kontrol etmek gerekir.Bu değerleri denklemde yerine yerleştirirsek  (x,y) tam sayı ikililerini (0,-1),(-1,-1),(0,0),(-1,0),(5,2),(-6,2) şeklinde buluruz.