Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 30

[ArtOfMathSolving]

$23,29,31,37,41$ sayılarından kaç tanesi en az bir $(m,n)$ pozitif tam sayı ikilisi için $m^7-n^7-3$ sayısını böler?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad{b)}\ 2
\qquad{c)}\ 3
\qquad{d)}\ 4
\qquad{e)}\ 5
$

[ArtOfMathSolving]

Yanıt:$\boxed{D}$

$m^7-n^7\equiv 3 \pmod{k},k\in \{23,29,31,37,41\}$ denkliğinin çözümlerinin varlığını arıyoruz.

İlk olarak $k=23$ için, $m=k^{3},n=\ell^{3}$ olarak değiştirirsek, denklik, $k^{21}-\ell^{21}\equiv 3 \pmod{23}$ şekline döner, Euler-Phi fonksiyonundan, $\varphi(23)=22$ bulunur. Böylece, $k^{21}-\ell^{21} \equiv 3 \pmod{23}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{\ell}\equiv 3 \pmod{23}\Rightarrow \dfrac{\ell}{3\ell+1}\equiv k \pmod{23}$ denkliğinin çözümünün olabilmesi için, $\left(23,\dfrac{\ell}{3\ell+1}\right)|k$ olması gerekir ki zaten $(n,3n+1)=1$ olduğundan bu doğrudur. O halde $23$ bu koşulları sağlar.

Şimdi $k=29$ olsun. Kare alırsak, $m^7-n^7\equiv 3 \pmod{29}\Rightarrow m^{14}+n^{14}\equiv 9+2(mn)^7\Rightarrow m^{28}+n^{28}+2(mn)^{14}\equiv 81+4(mn)^{14}+36(mn)^7 \pmod{29}$ Burada Euler-Phi fonksiyonundan $\varphi(29)=28$ bulunur. Düzenlersek, $2\equiv 23+2(mn)^{14}+36(mn)^{7} \pmod{29}\Rightarrow (mn)^{14}+18(mn)^{7}+81\equiv 85 \pmod{29}\Rightarrow \left((mn)^{7}+9\right)^2\equiv 27 \pmod{29}$ bulunur. $27\equiv -2 \pmod{29}$ olduğundan $27$ $\pmod{9}$ da kare kalan değildir. O halde $29$ bu koşulları sağlamaz.

Şimdi de $k=31$ olsun. Burada $m=a^{13},n=b^{13}$ olarak değiştirirsek, Euler-Phi fonksiyonundan, $\varphi(31)=30$ bulunur. Böylece $k^{91}-\ell^{91} \equiv 3 \pmod{31}=k-\ell\equiv 3 \pmod{31}$ buradan $k\equiv 4 \pmod{31}$ ve $\ell\equiv 1 \pmod{31}$ olarak bulunur. Yani $31$ koşulları sağlar.

Şimdi $k=37$ olsun. $m=k^{5},n=\ell^{5}$ olarak değiştirirsek, denklik, $k^{35}-\ell^{35}\equiv 3 \pmod{37}$ şekline döner. Euler-Phi fonksiyonundan $\varphi(37)=36$ bulunur. Böylece, $k^{35}-\ell^{35}\equiv 3 \pmod{37}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{\ell}\equiv 3 \pmod{37}\Rightarrow \dfrac{\ell}{3\ell+1}\equiv k \pmod{37}$ denkliğinin çözümünün olabilmesi için, $\left(37,\dfrac{\ell}{3\ell+1}\right)|k$ olması gerekir ki zaten $(n,3n+1)=1$ olduğundan bu doğrudur. O halde $37$ bu koşulları sağlar.

Son olarak $k=41$ olsun. $m=k^{6},n=\ell^{6}$ olarak değiştirirsek, denklik, $k^{42}-\ell^{42}\equiv 3 \pmod{41}$ şekline döner. Euler-Phi fonksiyonundan $\varphi(41)=40$ bulunur. Böylece, $k^{42}-\ell^{42}\equiv 3 \pmod{41}= k^2-\ell^2\pmod{41}$ denkliğinin çözümü $k\equiv 2 \pmod{41}$, $ \ell\equiv 1\pmod{41}$ olduğundan bu doğrudur. O halde $41$ de bu koşulları sağlar.

Sonuç olarak verilen $5$ sayıdan $4$ ü bu koşulları sağlar

[Eray]

Yanıt: $\boxed D$

$p\in\{23, 31, 37, 41\}$ sayıları için $k\cdot 7\equiv1\pmod{p-1}$ olacak şekilde $k$ sayısı bulunabileceğini biliyoruz. Çünkü $7$ sayısı $22, 30, 36, 40$ sayılarının hepsiyle aralarında asaldır.

$p\in\{23, 31, 37, 41\}$ sayıları için $m^7 - n^7 - 3\equiv0\pmod p$ olacak şekilde $(m,n)$ tamsayılarının bulunduğunu gösterelim.

$k\cdot 7\equiv1\pmod{p-1}$ olsun. $m=a^k, n=b^k$ olacak şekilde seçelim. $\Longrightarrow a^{7k}\equiv a\pmod p$, $\Longrightarrow b^{7k}\equiv b\pmod p$ olur.

$\Longrightarrow m^7-n^7-3\equiv a - b - 3\pmod p$ olur. $a=4, b=1$ seçerek koşulu sağlatırız.


Şimdi $m^7 - n^7 - 3\equiv0\pmod{29}$ olacak şekilde $(m,n)$ tamsayılarının bulunmadığını gösterelim.

$x^{28}\in\{0,1\}\pmod{29}$ olduğundan $k=x^7$ sayısı için $k^4\in\{0,1\}\pmod{29}$ dur. Bu $k=x^7$ sayısının alabileceği değerlere bakalım.

$k\equiv0$ veya $k^4\equiv1\pmod{29} \Longrightarrow (k-1)(k+1)(k^2+1)\equiv0 \pmod{29} \Longrightarrow k\in\{1,-1,12,13\} \pmod{29}$.

$\Longrightarrow x^7 \in \{0,1,12,13,28\}\pmod{29}$

Görüldüğü üzere, $m^7-n^7-3\equiv0\pmod{29}$ olması mümkün değildir.


Sonuç olarak, $23,29,31,37,41$ sayılarından $29$ hariç dördü sorudaki koşulu sağlar.