Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 24

[Eray]

Elimizde $12$ kırmızı ve $12$ beyaz top bulunuyor. Bir doğru üzerindeki $6$ boş kutunun her birine bu toplardan $2$ tanesi, herhangi iki komşu kutuda aynı renkli top bulunması koşuluyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir?

$\textbf{a)}\ 204 \qquad\textbf{b)}\ 216 \qquad\textbf{c)}\ 228 \qquad\textbf{d)}\ 239 \qquad\textbf{e)}\ 251$

[Alimmm78]

a_k k kutulu sorunun cevabını temsil etsin. ( 2k beyaz 2k kırmızı top var )
Bizden istenen durum a₆ olsun.
İlk kutu $kk$ ( $bb$ ise de ) ise ikinci kutu $kk$ veya $kb$ olabilir.
       eğer $kk$ ise sonraki kutu $kk$ veya $kb$ olabilir
                 $kk$ ise $kk$ veya $kb$ olur
                           .....
                                 .....
                 $kb$ ise a₃ tür
       eğer $kb$ ise a₄ oluyor.
ilk kutu eğer $kb$ ise a₅ durum var.

şimdi toplam durum
a₆ = a₅ + 2*(a₄ + a₃ +a₂+ a₁ +a₀ + 1(hepsinin aynı olduğu ) )

şeklinde oluyor

a₆ = a₅ + 2*(a₄ + a₃ +a₂+a₁ +a₀+ 1)
a₅ = a₄ + 2*(a₃ + a₂ +a₁ +a₀+ 1)
a₅ = a₃ + 2*( a₂+a₁ +a₀+ 1)
a₃ = a₂ + 2*(a₁ + a₀+1)
a₂ = a₁ + 2*(a₀+ 1)
a₁ = a₀ + 2*(1)
a₀= 1

a₀=1
a₁= 3
a₂=7
a₃=17
a₄=41
a₅=99
a₆=239

[Lokman Gökçe]

Yanıt $\boxed{D}$

Problemi genel halde, $2n$ kırmızı ve $2n$ beyaz topu $n$ kutuya dağıtma şeklinde çözelim. İstenen özellikteki dağıtımların sayısı $a_n$ olsun. Kırmızı ve beyaz topları kısaca $K,B$ ile gösterelim. İlk kutuya $KK$, $KB$, $BB$ dağıtıldığında kalan $n-1$ kutuya istenen özellikte sırasıyla $b_{n-1}$, $c_{n-1}$, $b_{n-1}$ yolla dağıtılsın. $a_{n}$ bu üç ayrık toplamından oluşur.

$$ a_n = 2b_{n-1} + c_{n-1}…(1)$$
Şimdi $b_{n-1}$ i inceleyelim. İkinci kutuya $KK$ veya $KB$ konabileceğinden
 $$ b_{n-1} = b_{n-2} + c_{n-2}…(2)$$
olur. Şimdi de $c_{n-1}$ i inceleyelim. İkinci kutuya $KK$ , $BB$ veya $KB$ konabileceğinden

$$ c_{n-1} =2 b_{n-2} + c_{n-2}…(3) $$
olur.  (1) ve (3) ten
$$c_{n-1}=a_{n-1}…(4) $$
bulunur. Ayrıca (2) ve (3) ten $2b_{n-1}=c_{n-1}+c_{n-2}$ olup (4) ten dolayı bu denklemi

$$ 2b_{n-1}=a_{n-1}+a_{n-2} …(5) $$
biçiminde yazabiliriz. (4) ve (5) i (1) de kullanırsak
$$  a_{n} =2 a_{n-1} + a_{n-2}…(6) $$
indirgeme bağıntısı elde edilir. $a_1$ için $KK,BB,KB$ durumları olup $a_1=3$ bulunur. $a_2$ için $ \{KK,KB\}$, $\{KK,KK\}$, $\{BB,KB\}$, $\{BB,BB\}$, $\{KB,KB\}$, $\{KB,KK\}$, $\{KB,BB\}$ durumları olup $a_2=7$ dir. (6) dan faydalanarak

$a_3=2a_2+a_1 = 17$
$a_4=2a_3+a_2 = 41$
$a_5=2a_4+a_3 = 99$
$a_6=2a_5+a_4 = 239$ bulunur.