$h(x)$ sürekli fonksiyonu için $h_1(x)=\dfrac{1}{b-a}\left (h((b-a)x+a)-P(a) \right )$ dönüşümü yapalım. $x=\dfrac{x_1-a}{b-a}$ dersek $h_1(x)=\dfrac{1}{b-a}\left (h(x_1)-P(a) \right )$ olur. Bu dönüşüm ile ilgili birkaç özelliğe bakalım.
1. $h(x)$, $n.$ dereceden bir polinom ise $h_1(x)$ de $n.$ dereceden bir polinomdur. Dolayısıyla bu dönüşüm bir doğruyu yine bir doğruya dönüştürür.
2. $h(x)$ fonksiyonu için $x_1$ değeri kritik nokta ise (yerel maksimum,yerel minimum, büküm noktası vs.) $\dfrac{x_1-a}{b-a}$ değeri de $h_1(x)$ için aynı özelliğe sahip kritik noktadır. Örneğin $f(x)$'in $x=1$'de büküm noktası varsa $\dfrac{1-a}{b-a}$'de de $f_1(x)$ fonksiyonunun büküm noktası vardır.
3. Eğer $h(x)$ ile $f(x)$ fonksiyonları tam olarak $m$ farklı noktada kesişiyor ve $k$ farklı noktada birbirine teğet ise $h_1(x)$ ile $f_1(x)$ fonksiyonları da tam olarak $m$ farklı noktada kesişir ve $k$ farklı noktada birbirine teğettir.
Dönüşüm basit bir dönüşüm olduğundan ve kullanılan özellikler de anlaşılması ve gözlemlenmesi basit olduğundan göstermiyorum.
$P(x)$ polinomuna da bu dönüşümü uygularsak $(a,P(a))\rightarrow (0,0)$ ve $(b,P(b))\rightarrow (1,P_1(1))$ noktasına dönüşür. $r=\dfrac{c-a}{b-a}$ olmak üzere $(c,P(c))\rightarrow (r,P_1(r))$ noktasına dönüşür. $P_1(x)$ de 5. dereceden bir polinom olduğundan ve $x=0$, $x=1$ ve $x=r$ değerlerinde büküm noktası olduğundan $$P''_1(x)=60Ax(x-1)(x-r)$$ (Başkatsayıya $60A$ dememizin sebebi katsayıların tam sayı çıkmasını istememizdir.) İntegralini alırsak, $$P'_1(x)=15Ax^4-20A(r+1)x^3+30Arx^2+B$$ Tekrar integral alırsak, $$P_1(x)=3Ax^5-5A(r+1)x^4+10Arx^3+Bx$$ ($P_1$ polinomu $(0,0)$ noktasından geçtiği için sabit terim olmayacaktır.) Buradan $P_1(1)=5Ar-2A+B$ olur. $(a,P(a))$ ve $(b,P(b))$ noktalarından geçen doğru, $(0,0)$ ve $(1,P_1(1))$'den geçen doğruya dönüşeceğinden yeni doğru $y=P_1(1)x=(5Ar-2A+B)x$ olur. Soruda istediğimiz gibi doğru ve polinom toplamda 5 noktada kesişeceğinden $P_1(x)=(5Ar-2A+B)x$ denkleminin 5 reel çözümü olmalıdır. Denklemi düzenlersek, $$3Ax^5-5A(r+1)x^4+10Arx^3-A(5r-2)x=Ax(x-1)(3x^3-(5r+2)x^2+(5r-2)x+(5r-2))=0$$ $x=0$ ve $x=1$ değerleri köklerden ikisidir. (Zaten bu noktalar büküm noktalarıdır.) $3x^3-(5r+2)x^2+(5r-2)x+(5r-2)=0$ denkleminin de 3 reel kökü olmalıdır. Eğer bu denklemin 3 farklı kökü varsa diskriminantı pozitiftir.
3. dereceden bir denklemin diskrimantı ($ax^3+bx^2+cx+d=0$ için) : $\Delta =b^2c^2-4b^3d-4ac^3+18abcd-27a^2d^2$ 'dir. Bunu elde ettiğimiz denklemde yazarsak $$\Delta=(5r-2)(5r-3)(125r^2-125r-226)>0$$ olmalıdır. $a<b<c$ olduğundan $r=\dfrac{c-a}{b-a}>1$'dir. dolayısıyla $(125r^2-125r-226)>0$ olmalıdır. Bu denklemin kökleri de $\dfrac{25-7\sqrt{105}}{50}<1<\dfrac{25+7\sqrt{105}}{50}$ olduğundan $\left (1,\dfrac{25+7\sqrt{105}}{50}\right )$ aralığında diskriminant negatif olacaktır. Dolayısıyla $$r=\dfrac{c-a}{b-a}>\dfrac{25+7\sqrt{105}}{50}$$ olmalıdır.
