Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2015 Soru 2

[Eray]

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ olmak üzere, $ABD$ üçgeninin iç bölgesinde yer alan bir $P$ noktası$$m(\widehat{PAD})=90^\circ-m(\widehat{PBD})=m(\widehat{CAD})$$koşullarını sağlıyor. $PC$ ve $AD$ doğruları $Q$ noktasında kesişiyorsa, $m(\widehat{PQB})=m(\widehat{BAC})$ olduğunu gösteriniz.

(Şahin Emrah)

[ERhan ERdoğan]

$C$ nin $AD$ üzerindeki izdüşümü $E$ ve $CE$ ile $AP$ nin kesişimi $F$ olsun. $m(\widehat{FAE})=m(\widehat{CAE})$ olduğundan $|CE|=|EF|$ olur. Ayrıca $|BD|=|DC|$ olduğundan $DE \parallel BF$ dir. Bundan sonra açıları incelediğimizde $m(\widehat{AFC})=m(\widehat{PBC})$ olduğunu görüyoruz. O halde, $PBFC$ bir kirişler dörtgenidir.
Buna ek olarak $BF \parallel AE$ olduğunda da $m(\widehat{CAE})=m(\widehat{FAE})=m(\widehat{BFA})=m(\widehat{BCP})$ bulunur. Buna göre $\triangle{CDQ} \sim \triangle{ADC}$ olup $|CD|^2=|QD|\cdot|AD|$ dir.
$|BD|=|DC|$ olduğundan $|BD|=|QD|\cdot|AD|$ yani  $m(\widehat{QBC})=m(\widehat{BAD})$ dir.
Sonuç olarak, $m(\widehat{PQB})=m(\widehat{QBC})+m(\widehat{QCB})=m(\widehat{BAC})$ dir.