Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 09

[geo]

Birbirine dıştan teğet olan $[AB]$ ve $[BC]$ çaplı iki çemberin merkezleri, sırasıyla $D$ ve $E$ ile; $A$ noktasından $E$ merkezli çembere ve $C$ noktasından $D$ merkezli çembere ($AC$ doğrusuna göre aynı tarafta kalacak şekilde) çizilen teğetlerin kesişim noktası $F$ ile gösterilmek üzere, $|DB|=|BE|=\sqrt 2$ ise, $AFC$ üçgeninin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {7\sqrt 3}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {9\sqrt 2}{2}
\qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt 2
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

Çemberler eş olduğu için $FB$, $\triangle AFC$'de simetri eksenidir. $CF$, $D$ merkezli çembere $T$'de dokunsun. $\triangle TDC$ dik üçgeninde $DT=\sqrt 2$, $DC=3\sqrt 2$ olduğu için Pisagordan $TC = 4$ ve $\tan {\angle TCD} = \dfrac 1{2\sqrt 2}$ elde edilir. $\triangle FBC$ dik üçgeninde  $\tan {\angle BCF} = \dfrac 1{2\sqrt 2}$ olacağı için $FB=1$ ve $Alan(AFC) = \dfrac{1 \cdot 4\sqrt2}2 = 2\sqrt 2$ olarak bulunur.