Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 21

[Lokman Gökçe]

$|AC|=30$ ve $s(\widehat{ABC})=90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninde $C$ köşesine ait içaçıortayın $[AB]$ kenarı ile kesişimi $D$ noktası ve $|CD|=5\sqrt6$ ise, $|BC|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt6
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 5\sqrt5
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{D}$

$|BC|=a$ diyelim. $BDC$ üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanırsa $|BD|=\sqrt{150-a^2}$ bulunur.
$ABC$ üçgeninde İç Açıortay Teoremi uygulanırsa $|AD|=\dfrac{30}{a}\cdot\sqrt{150-a^2}$ bulunur.
$ABC$ üçgeninde İç Açıortay uzunluğunu veren teorem uygulanırsa, $30\cdot a-\dfrac{30\cdot(150-a^2)}{a}=150$ denklemi elde edilir. Düzenlenirse, $2a^2-5a-150=0 \Rightarrow (2a+15)(a-10)=0 \Rightarrow a=10$ bulunur.