$x+y=a$ ve $xy=b$ diyelim. Verilen bilgiler $$a^2-2b+a=ab-\dfrac{10}{27}\implies b=(a-1)+\dfrac{64}{27(a+2)}$$ $$-\dfrac{25}{9}\leq b\leq \dfrac{25}{9}$$ olacaktır ($a=-2$ iken çözüm olmadığı kontrol edilebilir). Ayrıca $(x+y)^2\geq 4|xy|$ olduğundan $$\dfrac{a^2}{4}\geq b\geq -\dfrac{a^2}{4}$$ olacaktır. İki eşitsizliği birleştirirsek $$\min\left\{\dfrac{25}{9},\dfrac{a^2}{4}\right\}\geq b=a-1+\dfrac{64}{27(a+2)}\geq -\min\left\{\dfrac{25}{9},\dfrac{a^2}{4}\right\}$$
Eğer $a\geq\dfrac{10}{3}$ veya $a\leq -\dfrac{10}{3}$ ise $\dfrac{25}{9}\leq \dfrac{a^2}{4}$ olacaktır. $$\dfrac{25}{9}\geq a-1+\dfrac{64}{27(a+2)}\geq -\dfrac{25}{9}\implies 75(a+2)\geq 27a^2+27a+10\geq -75(a+2)$$ $$0\geq (9a+14)(3a-10)~~~\text{ ve }~~~\dfrac{(9a+17)^2}{3}+\dfrac{191}{3}\geq 0$$ $a>\dfrac{10}{3}$ veya $a\leq -\dfrac{10}{3}$ ise $0<(9a+14)(3a-10)$ olacaktır. Dolayısıyla $a=\dfrac{10}{3}$ olacaktır. Yerine yazarsak $b=\dfrac{25}{9}$ çıkar. $x$ ve $y$ için çözersek $(x,y)=\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3}\right)$ bulunur.
Eğer $-\dfrac{10}{3}<a<\dfrac{10}{3}$ ise $\dfrac{25}{9}>\dfrac{a^2}{4}$ olacaktır. $$\dfrac{a^2}{4}\geq a-1+\dfrac{64}{27(a+2)}\geq -\dfrac{a^2}{4}\implies 27a^2(a+2)\geq 108(a-1)(a+2)+256\geq -27a^2(a+2)$$ $$\implies 0\leq (3a+2)^2(3a-10)~~~\text{ve}~~~27a^3+162a^2+108a+40\geq 0$$ $-\dfrac{10}{3}<a<\dfrac{10}{3}$ olduğundan $a\neq -\dfrac{2}{3}$ ise $0>(3a+2)^2(3a-10)$ olacaktır. Dolayısıyla $a=-\dfrac{2}{3}$ olmalıdır. Bu değer için $27a^3+162a^2+108a+40\geq 0$ sağlanır. Yerine yazarsak $b=\dfrac{1}{9}$ elde edilir. $x$ ve $y$ için çözersek $(x,y)=\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3}\right)$ çözümünü buluruz.
Tüm çözümler $(x,y)=\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3}\right),\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3}\right)$'dir.
