Son İletiler

21

2008 / Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 3

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 14, 2024, 02:44:14 öö »

$$\dfrac{p}{q}-\dfrac{4}{r+1}=1$$ denklemini sağlayan tüm $p$, $q$, $r$ asal sayılarını bulunuz.

22

2008 / Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 1

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 14, 2024, 02:09:50 öö »

Aşağıdaki denklem sistemini sağlayan tüm $a$, $b$, $c$, $d$ reel sayılarını bulunuz :

\[ \left\{\begin{array}{cc}a + b + c + d = 20, \\
ab + ac + ad + bc + bd + cd = 150. \end{array} \right.\]

23

1996 / Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1996 Soru 18

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 14, 2024, 01:30:52 öö »

Yanıt: $\boxed{C}$

\begin{align}
1^3+3^3+5^3+ \cdots +101^3 & = (1^3+2^3+3^3+ \cdots +100^3+101^3) - (2^3+4^3+ \cdots +98^3+100^3) \\
& = \dfrac{101^2 \cdot 102^2}{2^2}-2^3(1^3+2^3+ \cdots +50^3)\\
& = \dfrac{101^2 \cdot 102^2}{2^2}-8 \cdot \dfrac{50^2 \cdot 51^2}{2^2}\\
& = 101^2 \cdot 51^2 - 2 \cdot 50^2 \cdot 51^2\\
& = 51^2(101^2-2 \cdot 50^2)\\
& = 2601 \cdot 5201
\end{align}

24

Analiz-Cebir / Ynt: Romanya JBMO TST 2018 #5.2

« Son İleti Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ Nisan 13, 2024, 06:21:59 ös »

Farklı bir çözüm verelim. Holder Eşitsizliği'ni kullandığımızda
$$LHS^2.\sum_{cyc}{a}=\left(\sum_{cyc}{\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+2b\right)^3}}}\right)^2\left(\sum_{cyc}{a}\right)\geq \left(\sum_{cyc}{\dfrac{a}{a+2b}}\right)^3\overbrace{\geq}^{?} 1$$
$$\Longleftrightarrow \sum_{cyc}{\dfrac{a}{a+2b}}\geq 1$$
sondaki ifade Titu Eşitsizliği'nden açıktır.

25

1998 / Balkan Matematik Olimpiyatı 1998 Soru 3

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 13, 2024, 05:33:26 ös »

$T$, $ABC$ üçgeninin içinde bir nokta olsun. $ABC$ üçgeninin içinde ve üstünde bulunan tüm noktaların ($T$ hariç) kümesini $S$ ile gösterelim. $S$ kümesinin ayrık kapalı doğru parçalarının birleşimi olarak yazılabileceğini gösteriniz. (Kapalı doğru parçası, her iki uç noktasını da içerir.)

(Sırbistan Karadağ)

26

Analiz-Cebir / Ynt: Romanya JBMO TST 2018 #5.2

« Son İleti Gönderen: ygzgndgn Nisan 13, 2024, 05:02:01 ös »

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$ fonksiyonu konvekstir. Eşitsizliği
$$\sum_{cyc} af(a+2b) \geq f(\sqrt[3]{a+b+c})$$ olarak yazabiliriz. Jensen Eşitsizliğinden
$$\sum_{cyc} af(a+2b) \geq (a+b+c)\cdot f\left(\frac{\sum_{cyc} a(a+2b)}{a+b+c}\right)=(a+b+c)\cdot f(a+b+c)$$ gelir. $\sqrt[3]{a+b+c}=x$ dersek
$$x^3f(x^3)=\frac{x^3}{\sqrt{x^9}}=f(x)$$ olduğunu görürüz. İspat biter.

27

2024 / Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 3

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 13, 2024, 04:20:45 ös »

Bir $n$ pozitif tam sayısının her $d$ pozitif böleni için $d(d+1)$ sayısı $n(n+1)$ sayısını bölüyorsa $n$ sayısına tuhaf diyelim. Birbirinden farklı herhangi dört $A$, $B$, $C$ ve $D$ tuhaf pozitif tam sayıları için
$$\text{ebob(A,B,C,D)=1}$$
olduğunu gösteriniz.

$ebob(A,B,C,D)$ ile $A$, $B$, $C$ ve $D$ sayılarının her birini bölen en büyük pozitif tam sayı gösterilmektedir.

(Hollanda)

28

2024 / Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 2

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 13, 2024, 04:13:12 ös »

$AC>AB$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Omega$ ve iç teğet çember merkezi $I$ olsun. Bu üçgenin iç teğet çemberi $BC$, $CA$, $AB$ kenarlarına sırasıyla $D$, $E$, $F$ noktalarında teğettir. $X$ ve $Y$ noktaları, iç teğet çemberin sırasıyla $\stackrel{\huge{\frown}}{DF}$ ve $\stackrel{\huge{\frown}}{DE}$ küçük yaylarının üzerinde $\angle{BXD} = \angle{DYC}$ olacak şekilde alınıyor. $XY$ doğrusu ile $BC$ doğrusunun kesişim noktası $K$ olsun. $\Omega$ üzerinde bir $T$ noktası, $KT$ ile $\Omega$ teğet olacak ve $T$ noktası $BC$ doğrusuna göre $A$ ile aynı tarafta olacak şekilde alınıyor. $TD$ ve $AI$ doğrularının $\Omega$ üzerinde kesiştiklerini gösteriniz.

(İngiltere)

29

2024 / Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 1

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 13, 2024, 04:01:53 ös »

Başlangıçta tahtaya birbirinden farklı $u$ ve $v$ tam sayıları yazılmıştır. Her adımda, aşağıdaki iki işlemden biri yapılıyor :

     (i) $a$ ve $b$ tahtada yazılı birbirinden farklı iki tam sayı olmak üzere, $a+b$ sayısı tahtada yazılı değilse $a+b$ sayısını tahtaya yazabiliriz.

     (ii) $a$, $b$ ve $c$ tahtada yazılı birbirinden farklı üç tam sayı olmak üzere, $ax^2+bx+c=0$ denklemini sağlayan bir $x$ tam sayısı tahtada yazılı değilse $x$ tam sayısını tahtaya yazabiliriz.

Herhangi bir tam sayının sonlu sayıda işlem sonucunda tahtaya yazılabilmesini mümkün kılan tüm $(u,v)$ başlangıç ikililerini bulunuz.

(Slovakya)

30

Analiz-Cebir / Ynt: Genelleştirilmiş Romanya JBMO TST 2019 #5.2

« Son İleti Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ Nisan 13, 2024, 03:16:09 öö »

$$n=4$$
verildiğinde problem Romanya JBMO TST 2019 #5.2'e dönüşür.