1
Analiz-Cebir / En küçük değer
« Son İleti Gönderen: alpercay Bugün, 03:20:44 ös »$a,b,c$ pozitif reel sayılar , $$5.a+6.b+7.c=1$$ olmak üzere $$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$ ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
Geomania Facebookta!
Geomania'da ki değişiklikleri sosyal medyada takip etmek için Anasayfamızda ki "Beğen" butonuna tıklayınız.
1
Analiz-Cebir / En küçük değer« Son İleti Gönderen: alpercay Bugün, 03:20:44 ös »$a,b,c$ pozitif reel sayılar , $$5.a+6.b+7.c=1$$ olmak üzere $$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$ ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
2
2021 / Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 08« Son İleti Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ Nisan 22, 2024, 07:41:11 ös »Cevap: $\boxed{D}$
Yukarıdaki ispat sınav sırasında öğrenciler tarafından test taktiğiyle her kırmızı ve beyaz boyalı sayıların kendi içinde eş olmasıyla $2x^2=x$ ve $x$ sıfır olmadığından $\dfrac{1}{2}$ olarak bulunabilir. Lakin daha akla yatar bir çözüm verelim. $a_1=x, a_2=xy, a_3=y$ olsun. Buna göre $$a_4=y\left(1-x\right)$$ $$a_5=1-x$$ $$a_6=\left(1-x\right)\left(1-y\right)$$ $$a_7=1-y$$ $$a_8=x\left(1-y\right)$$ olarak elde edilir ve bundan sonra $a_9=x$ olduğundan dizi periyodik bir hal alır. Yani $8$'lik bir tekrar bulduk. 0 zaman $$Toplam=25\left(\sum_{i=1}^{8}{a_i}\right)=25\left(x+xy+y+y-xy+1-x+1-x-y+xy+1-y+x-xy\right)=25.3=75$$ olarak bulunur. 3
Analiz-Cebir / Ynt: n değişkenli bir eşitsizlik {çözüldü}« Son İleti Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ Nisan 21, 2024, 09:17:22 ös »Bergström Eşitsizliği'ni kullanacak olursak
$$LHS=\sum_{cyc- j}{\dfrac{a_j^2}{2a_j-a_j^2}}\geq \dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}{a_1}\right)^2}{2\sum\limits_{cyc}{a_1}-\sum\limits_{cyc}{a_1^2}}=\dfrac{1}{2-\sum\limits_{cyc}{a_1^2}}$$ $\sum\limits_{cyc}{a_1^2}\geq \dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}{a_1}\right)^2}{n}=\dfrac{1}{n}$ olduğunu kullanırsak $$LHS\geq \dfrac{1}{2-\sum\limits_{cyc}{a_1^2}}\geq \dfrac{1}{2-\dfrac{1}{n}}=\dfrac{n}{2n-1}$$ 4
2024 / Ynt: Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 2« Son İleti Gönderen: geo Nisan 20, 2024, 07:45:13 ös »$K$ nin içteğet çembere göre kuvvetinden $$KX \cdot KY = KD^2 \tag{1}$$
$K$ nin çevrel çembere göre kuvvetinden $$KB\cdot KC = KT^2 \tag{2}$$ Teğet kiriş açıdan $\angle DYX = \angle XDB$. $\angle XBK = \angle XDB+ \angle BXD = \angle DYX + \angle DYC =\angle CYX$ olduğu için $CYXB$ kirişler dörtgenidir. $K$ nin bu kirişler dörtgeninin çevrel çemberine göre kuvvetinden $$KX \cdot KY = KB\cdot KC \tag{3}$$ $(1),(2)$ ve $(3)$ ü birleştirirsek $KT = KD$ elde ederiz. $TD$ ile $\Omega$, $M$ de kesişsin. $\overset{\Huge\frown}{BM} + \overset{\Huge\frown}{TC} =2\angle TDC = 2\angle DTK =\overset{\Huge\frown}{TM} =\overset{\Huge\frown}{CM} +\overset{\Huge\frown}{TC} \Longrightarrow \overset{\Huge\frown}{BM} = \overset{\Huge\frown}{CM}$ Bu durumda $AM$ doğrusu $\angle CAB$ nin açıortayıdır. Yani $A, I, M$ doğrusaldır. O halde $AI$ ile $TD$ doğruları, $\overset{\Huge\frown}{BC}$ yayının orta noktasında kesişir. 5
Sayılar Teorisi / Ynt: Güvenli Asal Sayılar« Son İleti Gönderen: geo Nisan 20, 2024, 05:02:52 ös »Cevap: $\boxed {(c) \ 3}$
$r>2$ ise $r=2k+1$ olacağından $p=2q+r-1=2q+2k=2(q+k)$ olacağı için çözüm gelmez. $r=2$ için $p=2q+1$ olacaktır. İlk birkaç $q$ değeri için çözümleri yazalım. $q=2, p=5$, $q=3, p=7$, $q=5, p=11$, $q=11, p=23$ $q>3$ olsun ve eşitliği $\bmod 6$ da inceleyelim. $q=6k, 6k+2, 6k+4$ çift sayı oldukları için sağlamaz. $q=6k+3$ sayısı $3$ ile bölündüğü için sağlamaz. $q=6k+1$ i yerine yazarsak $p=2q+1=12k+3=3(4k+1)$ $3$ ile bölündüğü için sağlamaz O halde geriye sadece $q=6k+5$ şeklinde asal sayılar kalır. Yerine yazarsak $p=2q+1=12k+11$ elde ederiz. O halde $p \equiv 5, 7, 11 \pmod {12}$ olabilir. Not: $p,q$; $p=2q+1$ şeklindeki asal sayılar olmak üzere $q$ sayısına Sophie Germain asalı, $p$ sayısına da güvenli asal denir. bkz. Sophie Germain Asalları 6
2020 / Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2020 Soru 4« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 18, 2024, 01:56:53 öö »$1 + \dfrac{p^q - q^p}{p + q}$ ifadesini asal sayı yapan tüm $p$ ve $q$ asal sayılarını bulunuz.
(Arnavutluk) 7
2020 / Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2020 Soru 1« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 18, 2024, 01:51:53 öö »$$\begin{cases} a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \\a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\end{cases}$$
denklem sistemini sağlayan tüm $(a,b,c)$ reel sayı üçlülerini bulunuz. (Arnavutluk) 8
2003 / Balkan Matematik Olimpiyatı 2003 Soru 3« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 17, 2024, 11:51:42 ös » (a) $f(1)+1 > 0$;
(b) Her $x,y \in \mathbb Q$ için $f(x+y)-xf(y)-yf(x) = f(x)f(y)-x-y+xy$; (c) Her $x \in \mathbb Q$ için $f(x)=2f(x+1)+x+2$ şartlarını sağlayan tüm $f: \mathbb Q \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz. (Kıbrıs) 9
2002 / Balkan Matematik Olimpiyatı 2002 Soru 4« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 17, 2024, 11:40:55 ös »Her $n \in \mathbb Z^+$ için
$$2n+2001 \leq f(f(n)) +f(n) \leq 2n+2002$$ şartını sağlayan tüm $f: \mathbb Z^+ \to \mathbb Z^+$ fonksiyonlarını bulunuz. (Romanya) 10
2020 / Balkan Matematik Olimpiyatı 2020 Soru 2« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 17, 2024, 11:27:34 ös »Her $n \in \mathbb Z^+$ için
i) $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}f(k)$ ifadesi bir tam karedir ve ii) $f(n) \mid n^3$ şartlarını sağlayan tüm $f: \mathbb Z^+ \to \mathbb Z^+$ fonksiyonlarını bulunuz. (Arnavutluk) |