Çözüm [Lokman Gökçe]: Öncelikle soruda verilen ve ispatta kullanılacak olan noktaları ve açıları tanımlayalım. $ \angle BAR = \angle CAP = \alpha $ olarak isimlendirelim. $AP$ ve $AR$ doğrularının $\angle A$'nın nın açıortayı olan $AI$ ile yaptığı açıyı da $ \angle PAI = \angle RAI = \beta $ olarak tanımlayalım. (İzogonal doğrular ile ilgili teoremlerden faydalanmayacağız. Yine de bu eşitliğin, $AP$ ve $AR$ doğrularının izogonal olduğunu ifade ettiğini hatırlatalım.) Çözümde yönlü uzunlukları kullanacağız. Yani $AB = - BA$ gibi eşitlikler vardır. İsteyenler mutlak uzunlukları da kullanabilir. Çözüme bir zarar vermeyecektir.
$PN \cap AC = S$ ve $RN \cap AB = Q$ olsun. Amacımız, ispatın sonunda $S, N, Q$ noktalarının doğrusal olduğunu göstermektir. Eğer bunu başarırsak, tanımladığımız $PN$ ve $RN$ doğruları aslında aynı doğru olmuş olur ve dolayısıyla $P, N, R$ noktaları da doğrusal olur. Gerekli oranları bulmak için Menelaüs ve sinüs teoremlerini uygulayacağız.
$AIC$ üçgeni ve $S-P-N$ keseni için $\dfrac{AS}{SC} \cdot \dfrac{CP}{PI} \cdot \dfrac{IN}{NA} = -1 $ olur. $ABI_a$ üçgeni ve $Q-R-N$ keseni için $\dfrac{AQ}{QB} \cdot \dfrac{BR}{RI_a} \cdot \dfrac{I_aN}{NA} = -1 $ olur.
$API$ ve $APC$ üçgenlerinde sinüs teoreminden $\dfrac{CP}{PI} = \dfrac{AC \cdot \sin \alpha}{AI \cdot \sin \beta} $ olur. Benzer şekilde $ABR$ ve $ARI_a$ üçgenlerinde sinüs teoreminden $\dfrac{BR}{RI_a} = \dfrac{AB \cdot \sin \alpha}{AI_a \cdot \sin \beta}$ olur.
$A, N, I, I_a$ noktaları harmonik bölme oluşturur. Bu iyi bilinen özelliği iç-dış açıortay teoremleri ile de gösterebiliriz. Böylece $\dfrac{AI}{AI_a} = - \dfrac{NI}{NI_a}$ olur.
$ABC$ üçgeninde $AN$ iç açıortay olduğundan, $\dfrac{CN}{NB} = \dfrac{AC}{AB}$ olur.
Şimdi $S, N, Q$ noktalarının $ABC$ üçgeni için bir kesen oluşturup oluşturmadığını kontrol edelim. Bunun için Menelaus'un karşıtını kullanacağız ve $ \dfrac{AS}{SC} \cdot \dfrac{CN}{NB} \cdot \dfrac{BQ}{QA} $ çarpımının $-1$'e eşit olup olmadığını göstereceğiz. Önceki adımlarda bulduğumuz oranları bu çarpımda yerine yazalım.
$$ \left( \dfrac{PI}{CP} \cdot \dfrac{NA}{IN} \right) \cdot \left( \frac{AC}{AB} \right) \cdot \left( \dfrac{BR}{RI_a} \cdot \dfrac{I_aN}{NA} \right) $$
Terimleri yeniden düzenleyelim:
$$\left( \dfrac{PI}{CP} \right) \cdot \left( \dfrac{BR}{RI_a} \right) \cdot \left( \dfrac{AC}{AB} \right) \cdot \left( \dfrac{I_aN}{IN} \right)$$
Şimdi sinüs Teoremi ve harmonik bölme özelliklerinden bulduğumuz ifadeleri de yerleştirelim:
$$\left( \dfrac{AI \cdot \sin \beta}{AC \cdot \sin \alpha} \right) \cdot \left( \dfrac{AB \cdot \sin \alpha}{AI_a \cdot \sin \beta} \right) \cdot \left( \dfrac{AC}{AB} \right) \cdot \left( - \dfrac{AI_a}{AI} \right)$$
Bu ifadede terimlerin sadeleştiğini görebiliriz ve çarpımın sonucu $-1$'dir. $Q, N, S$ noktaları doğrusaldır. Dolayısıyla, $P, N, R$ noktaları doğrusaldır.
