2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 11. Sınıf Soru 22

[matematikolimpiyati]

$u$ ve $v$ değişkenler ve $a_{ij} \ (i=0,1,...,n \ ; \ j=0,1,...,m)$ sayıları da herhangi sabitler olmak üzere, $$P(u,v)=\displaystyle \sum_{i=0}^{n} \displaystyle \sum_{j=0}^{m} a_{ij}u^iv^j$$ ifadesine iki değişkenli polinom ve $a_{ij}$ sayılarına da bu polinomun katsayıları denir. $$(x^{2024}+y^{2024})$$ ifadesi $u=xy$ ve $v=x+y$ değişkenlerinin bir polinomu olarak yazılırsa katsayılar toplamı kaçtır?

(Örneğin, $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=v^3-3uv$ olup katsayılar toplamı $1+(-3)=-2$ olur.)

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ -3  \qquad\textbf{d)}\ 2023  \qquad\textbf{e)}\ 2024$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{B}$

$f(a)=x^a+y^a$ olsun. İki tarafıda $v=x+y$ ile çarpıp düzenlersek $f(a+1)=vf(a)-uf(a-1)$ elde edilir. $f(a)$'nın $v$ ve $u$ cinsinden yazılımlarının katsayılar toplamı $g(a)$ olsun. Katsayı toplamı incelediğimizden $u=v=1$ olsun. Yerine koyarsak $g(a+1)=g(a)-g(a-1)$ olur. Benzer şekilde $g(a)=g(a-1)-g(a-2)$ olduğu açıktır. Taraf tarafa toplarsak $g(a+1)=-g(a-2)$ elde edilir. Buradan $g(2024)=g(2)$ bulunur. $f(2)=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=v^2-2u$ olduğundan $g(2)=-1$'dir. Cevap $-1$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$P(u,v)$ polinomunun katsayılar toplamı, $u=v=1$ yazınca elde edilen değere eşittir; yani aradığımız sayı $P(1,1)$’dir. Bu yüzden $xy=1$ ve $x+y=1$ şartlarını sağlayan bir $x,y$ çifti seçip
$P(1,1)=x^{2024}+y^{2024}$ değerini hesaplamamız yeterlidir. $xy=1$ ve $x+y=1$ olduğundan $x$ ve $y$,
\[
t^2-(x+y)t+xy=t^2-t+1=0
\]
denkleminin kökleridir. Buradan özellikle $x\neq -1$ ve $y\neq -1$ olduğu açıktır; çünkü $t=-1$ yazılırsa $1+1+1\neq 0$ olur. Şimdi $t^2-t+1=0$ eşitliğini $(t+1)$ ile çarpalım:
\[
(t+1)(t^2-t+1)=t^3+1=0.
\]
Dolayısıyla kökler için $x^3=-1$, $y^3=-1$ elde edilir. Artık üsleri $3$ ile indirgeriz. $2024=3\cdot 674+2$ olduğundan
\[
x^{2024}=x^{3\cdot 674+2}=(x^3)^{674}x^2=(-1)^{674}x^2=x^2
\]
ve benzer şekilde $y^{2024}=y^2$ bulunur. O hâlde $P(1,1)=x^{2024}+y^{2024}=x^2+y^2$ olur. Son olarak $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=1^2-2\cdot 1=-1$. Demek ki $P(u,v)$ polinomunun katsayılar toplamı $-1$’dir.