Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 22

[matematikolimpiyati]

Pozitif bir tam sayının rakamlarından birinin silinmesiyle oluşan sayıya o sayının $altsayısı$ diyelim. Örneğin, $1024$ sayısının altsayıları $24,124,104$ ve $102$ dir. $n$ pozitif tam sayısı $m$ pozitif tam sayısının bir altsayısı olmak üzere $m+n=282021$ ise, $m$ nin basamakları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 22  \qquad\textbf{b)}\ 27  \qquad\textbf{c)}\ 32  \qquad\textbf{d)}\ 37  \qquad\textbf{e)}\ 42$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$m$'nin sağdan $k.$ basamağı olan $a$ silinerek $n$'nin elde edildiğini varsayalım. $a.$ basamağın solundaki sayı $A$, sağındaki sayı $B$ olsun (bu sayılar $0$ da olabilir). $B$ sayısı $a-1$ basamaklıdır. $$m+n=AaB+AB=A\cdot 10^k+a\cdot 10^{k-1}+B+A\cdot 10^{k-1}+B$$ $$=11\cdot 10^{k-1} A+a\cdot 10^{k-1}+2B=282021$$ olacaktır. Eğer $k\geq 2$ ise $m+n$ çift sayı olacaktır, bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $k=1$ olmalıdır. Yani $B=0$ ve $n=A=\frac{m-a}{10}$'dur. Dolayısıyla $$m+n=m+\frac{m-a}{10}=\frac{11m-a}{10}=282021$$ $$\implies 11m-a=2820210$$ olacaktır. $a$ bir rakamdır ve $11$ modunda incelersek, $$11m-a\equiv -a\equiv 2820210\equiv 8\pmod{11}$$ olur. $a$ bir rakam olduğundan $a=3$ ve yerine yazarsak $m=256383$ elde edilir. Basamakları toplamı $2+5+6+3+8+3=27$'dir.