1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[matematikolimpiyati]

Bir geometrik dizinin $m$-inci terimi $27$, $n$-inci terimi $8$, $p$-inci terimi de $12$ olduğuna göre $m$, $n$ ve $p$ aşağıdaki bağıntılardan hangisini sağlar?

$\textbf{a)}\ m-2n=p \qquad\textbf{b)}\ m+2n=3p  \qquad\textbf{c)}\ m+n=p \qquad\textbf{d)}\ m+p=n \qquad\textbf{e)}\ n+p=m$

[taftazani44]

$\begin{aligned}27=a_{1}r^{m-1}\\ 12=a_{1}r^{p-1}\\ 8=a_{1}r^{n-1}\end{aligned}$
Bu ifadeler oranlanırsa,
$\begin{aligned}r^{p-n}=\dfrac{3}{2}\\ r^{m-p}=\left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}\\ r^{m-n}=\left( \dfrac{3}{2}\right) ^{3}\end{aligned}$
Eşitlikleri elde edilir.

$\left( r^{p-n}\right) ^{2}=r^{m-p}$
$3p-2n=m$
Olur.