|AB|=|AD| iken minimum çevreli üçgen {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Aşağıdaki problemi, Mustafa Yağcı bey'in MYGEO-2 kitabının sayfa 40'da sunduğu probleminin bir genellemesi olarak yazdım. Burada sunmuş olalım:

Problem: $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası $|AB|=|AD|$ olacak biçimde alınıyor. $a,b$ birer pozitif tam sayı olmak üzere $|BD|=a$, $|DC|=b$ veriliyor. $ABC$ üçgeninin çevresinin alabileceği en küçük tam sayı değerini $a,b$ türünden bulunuz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE): Kolaylık için $a=2n$ diyelim. $A$ noktasından $[BD]$ ye inilen dikme ayağı $H$ olsun. $|BH|=|HD|=n$ olur. $m(\widehat{ABD})=m(\widehat{ADB})=\alpha $, $|AB|=|AD|=x$ diyelim. $\cos \alpha = \dfrac{n}{x}$ olur. Öte taraftan $\dfrac{a}{2} < x < \infty $ olduğu açıktır. $\cos (\widehat{BAC})=\cos (180^\circ - 2 \alpha) = 1 - 2\cos^2 \alpha = \dfrac{x^2-2n^2}{x^2}$ olur. Şimdi $|BC|=c$ olmak üzere, $ABC$ üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım:

$ c^2= x^2 + (x+b)^2 - 2\cdot x(x+b)\cdot \dfrac{x^2-2n^2}{x^2} $ eşitliğinde tekrar $2n=a$ yazarak düzenleyelim.

$c^2 = b^2 + a^2 +\dfrac{ba^2}{x} $ olur. $ABC$ üçgeninin çevresi $C(x)=b+2x+\sqrt{b^2 + a^2 +\dfrac{ba^2}{x}}$ olur. Türevini alıp sıfıra eşitlersek

$$C'(x)=2-\dfrac{\dfrac{ba^2}{x^2}}{2\sqrt{b^2 + a^2 +\dfrac{ba^2}{x}}}=0 $$

olup $$ \dfrac{ba^2}{4x^2} = \sqrt{b^2 + a^2 +\dfrac{ba^2}{x}} \tag{1} $$ denklemi elde edilir. $x > \dfrac{a}{2}$ iken bu denklemin gerçel kökünün olmadığını gösterelim.

$x > \dfrac{a}{2}$ iken $L= \dfrac{ba^2}{4x^2} < b $ olur.

$x > \dfrac{a}{2}$ iken $R = \sqrt{b^2 + a^2 +\dfrac{ba^2}{x}} > b$ olur.

Böylece $L<b<R$ olup $(1)$ denkleminin kökü yoktur. Dolayısıyla $x> \dfrac{a}{2}$ iken $C'(x)>0$ olup çevre fonksiyonu artandır. $C(\dfrac a2)=2a+2b$ dir. O halde $C(x)>C(\dfrac a2)$ ve $C(x)>2a+2b$ elde edilir. Böylece $C(x)$ in alabileceği en küçük tam sayı değeri $2a+2b+1$ olur. $x > \dfrac{a}{2}$ iken $C(x)$ sürekli ve artan bir fonksiyon olduğundan $C(x_0)=2a+2b+1$ olacak biçimde bu aralıkta yalnız bir $x_0$ gerçel sayısı vardır.