Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 36

[geo]

Kenar uzunluğu $4$ olan bir $ABCD$ karesinde $E$, $[AB]$ kenarının orta noktasıdır. $M$ noktası $[AC]$ üzerinde olmak üzere, $|EM|+|MB|$ toplamını tam sayı yapan kaç farklı $M$ noktası vardır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$B$ nin $AC$ ye göre simetriği $D$'dir. Bu durumda $DM = MB$ ve $EM + MB = DM +ME$ olur. $DM + ME$ en küçük değerini $D,M,E$ doğrusalken alır.

Bunu daha iyi görmek için $D$ ile $E$ yi birleştirelim. Üçgen eşitsizliğinden $DM+ME \geq DE = 2\sqrt 5$ elde edilir. $DE\cap AC =\{M'\}$ ise $M=M'$ olduğunda $DM'+M'E = 2\sqrt 5$ en küçük değerine ulaşır. $[M',A]$ aralığında $DM+ME$ artarken $M=A$ olduğunda $DA+AE=6$ bu aralıkta en büyük değerine ulaşır. $[M',C]$ aralığında $DM+ME$ artarken $M=C$ olduğunda $DC+CE=4 + 2\sqrt 5$ bu aralıkta en büyük değerine ulaşır. $M$ noktası $A$ dan $C$ ye giderken $ME+MB$ toplamı $6 \rightarrow 2\sqrt 5 \rightarrow 4+2\sqrt 5$ şeklinde değerler alır. Bu değerlerden tam sayı olanlar $6,5,5,6,7,8$ olacağından toplamda $6$ farklı $M$ noktası için $EM+MB$ tam sayı değer alır.