Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 22

[geo]

$(x_1x_2\dots x_{1998})$, ondalık sistemde $1998$ basamaklı bir sayının gösterimi olmak üzere, $(x_1x_2\dots x_{1998}) = 7 \cdot 10^{1996} (x_1+x_2+\dots + x_{1998})$ denklemini sağlayan kaç $(x_1x_2\dots x_{1998})$ sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

Açık bir şekilde $$(x_1x_2\dots x_{1998}) \equiv 7 \cdot 10^{1996} (x_1+x_2+\dots + x_{1998}) \equiv 0 \pmod {10^{1996}}$$ olduğu görülüyor. Bu durumda $$x_3 = x_4 = \dots = x_{1998} = 0$$ olur ve soru $$(x_1x_200\dots 0) = 7\cdot 10^{1996}(x_1 + x_2)$$ halini alır.
$$x_110^{1997} + x_210^{1996} = 7\cdot 10^{1996}(x_1 + x_2) \Rightarrow 10x_1 + x^2 = 7x_1 + 7x_2 \Rightarrow 3x_1 = 6x_2 \Rightarrow x_1 = 2x_2$$
Bu şartı sağlayan $(x_1, x_2)$ ikililerinin kümesi $ S = \{(2,1), (4,2), (6,3), (8,4)\}$ ve $|S|=4$ olacaktır.