$n^{60}+1$ sayılarının en küçük asal bölenleri {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (Lokman Gökçe): $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $n^{60}+1$ sayısının en küçük asal böleni $p_n$ ise $$ \sum_{n=1}^{102}p_n$$ toplamının $8$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Çözüm: $n$ tek sayı ise $n^{60}+1$ çift sayı olduğundan en küçük asal böleni $2$ dir. Bu şekilde $51$ tane değer oluşacağından $n$ nin tek değerlerinin toplama katkısı $2\cdot 51 = 102$ dir.


Şimdi $n$ nin çift değerlerini inceleyelim. $n^{60}+1$ sayısını bölen en küçük asal sayı $p$ ise $n^{60}+1 \equiv 0 \pmod{p} $ olup $n^{60} \equiv -1 \pmod{p}$ ve $n^{120} \equiv 1 \pmod{p}$ elde edilir. Buradan $n$ nin $\mod{p}$ deki mertebesinin $120$ veya $120$'ın bir pozitif böleni olabileceğini anlarız. Öte taraftan bu mertebe $60$ veya $60$'ın bir böleni olamaz. Dolayısıyla $1\leq n \leq 102$ çift sayısının $\mod{p}$ deki mertebesi $8, 24, 40, 120$ değerlerinden birine eşit olacaktır. Fermat teoreminden dolayı $n^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$ olduğunu biliyoruz. Böylece $8|p-1$, $24|p-1$, $40|p-1$ veya $120|p-1$ olur. Her durumda, bir $k_n\in \mathbb Z$ için $p_n=8k_n+1$ formundadır. Bu şekildeki $51$ tane sayının hepsinin toplamı $$ 8(k_2+k_4+\cdots +k_{102})+51 \equiv 3\pmod{8}$$ bulunur. Buradan $$ \sum_{n=1}^{102} p_n \equiv 102 + 3 \equiv 1 \pmod{8}$$ elde edilir.