Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 22

[Egemen]

$7\cdot 2^n+1$'in tam kare olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{B}$

$7.2^n+1=a^2 \Longrightarrow 7.2^n=(a+1)(a-1)$
İki durum söz konusudur.

1: $(a+1)=7.2^x, (a-1)=2^y$
$\Longrightarrow 2^y+2=7.2^x$
$x$ ve $y$ sayılarının herhangi biri $0$'a eşit olduğunda çözümün gelmediği açıktır. O halde $x,y>0$'dır. $2$ ile sadeleştirilirse,
$2^{y-1}+1=7.2^{x-1}$ elde edilir. $x$ ve $y$ sayılarının herhangi biri $1$'e eşit olduğunda çözümün gelmediği açıktır. $x,y>1$ iken ise eşitliğin sol tarafı tek, sağ tarafı çift olur. Dolayısıyla çözüm olamaz.

2: $(a+1)=2^x, (a-1)=7.2^y$
$\Longrightarrow 7.2^y+2=2^x$
$x$ ve $y$ sayılarının herhangi biri $0$'a eşit olduğunda çözümün gelmediği açıktır. O halde $x,y>0$'dir. $2$ ile sadeleştirilirse,
$7.2^{y-1}+1=2^{x-1}$ elde edilir. $x$ ve $y$ sayılarının herhangi biri $1$'e eşit olduğunda $(x,y)=(4,1)$ çözüm ikilisinin geldiği görülür. Olmadığında $x,y>1$'dir. Bu durumda ise eşitliğin sol tarafı tek, sağ tarafı çift olur. Dolayısıyla çözüm olamaz.

Tek çözümün 2. durumda $(x,y)=(4,1)$ olduğunu gördük. $(a+1)=2^x$ olduğundan $a=15 \Longrightarrow 7.2^n+1=a^2$ olduğundan $n=5$ bulunur.
Yani, $7.2^n+1$'in tamkare olmasını sağlayan tek bir $n$ pozitif tamsayısı vardır.