Nüfus değişim hızı

[Lokman Gökçe]

Soru (L. Gökçe):

Bilgi: Belirli zaman periyotlarında insan topluluklarının sayısının, kendileriyle orantılı bir hızla arttığı (veya azaldığı) gözlemlenmiştir.

Marsilya şehrinin $1719$ yılındaki nüfusu $90.000$ kişi olup veba salgınından dolayı $1720$ yılında nüfusu $45.000$ kişiye düşmüştür. Marsilya şehrinin  $1720$ yılındaki nüfus değişim hızının nüfusa oranı nedir?

$
\textbf{a)}\ -1
\qquad\textbf{b)}\ -2
\qquad\textbf{c)}\ -e
\qquad\textbf{d)}\ -\ln{2}
\qquad\textbf{e)}\ -\dfrac{1}{2}
$

[gahiax]

d buldum hocam doğrumudur

[Lokman Gökçe]

Tebrikler.

[gahiax]

Yanıt: $\boxed{D}$

Çözüm(H.İ.AYANA):

Soruda verilen bilgi doğrultusunda $\dfrac {dy}{dt}=ky$ yazabilir. Bizden istenen $k$ sabitidir. Ayrıca $y(1719)=90.000$,$y(1720)=45.000$ olduğu anlaşılmaktadır.

Yukarıdaki diferansiyel denklemi çözersek   $\dfrac {dy}{y}=k \cdot dt \to\int\dfrac{dy}{y}=\int k\cdot dt\to y=c\cdot e^{kt}$  bulunur. Ayrıca

$y(1719)=c\cdot e^{1719k}=90.000     ...(1)$ , $y(1720)=c\cdot e^{1720k}=45.000   ...(2)$  bulunur. $(1)$ ve $(2)$ yi oranlarsak

$e^{-k}=2\to k=-\ln2$ çıkar.