Dörtgenin karşılıklı kenarlarının orta noktaları {çözüldü}

[geo]

$ABCD$ dörtgeninde $\angle D=2 \cdot \angle A=60^\circ$ ve $AB=CD=2$ ise $AD$ ile $BC$ kenarlarının orta noktaları arasındaki uzaklık ne kadardır?

[Eray]

Uzunluğu değişken olan iki kenarımız var ve bize sorulan şey iki nokta arasındaki uzaklıktır. Dolayısıyla analitik çözüm için oldukça uygundur.

$A$ noktasını orijin kabul edelim ve $[AD]$'nin orta noktasının koordinatlarının tamsayı olması adına $D$ noktasının koordinatlarına $(2x,0)$ diyelim. Böylelikle $[AD]$'nin orta noktasının koordinatları $(x,0)$ olur.

$B$ ve $C$ noktalarının koordinatlarını bulmak için bu noktalardan $AD$'ye dik indirelim. $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ üçgeninin özelliği kullanılarak $B=(\sqrt3,1), C=(2x-1,\sqrt3)$ olarak bulunur.

$B$ ve $C$'nin koordinatları kullanılarak $[BC]$'nin orta noktasının koordinatları $\left(\dfrac{2x-1-\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt3-1}{2}\right)$ olarak bulunur.

$[AD]$ ve $[BC]$ doğru parçalarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasının uç noktalarının koordinatlarını bildiğimizden, iki nokta arasındaki uzaklığı veren şu formulü kullanarak uzunluğunu bulabiliriz:
$A=(x_1,y_1), B=(x_2, y_2) \Longrightarrow |AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

O halde doğru parçamızın uzunluğu $=\sqrt{\left(\dfrac{2x-1-\sqrt3}{2}-x\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3-1}{2}-0\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt3+1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3-1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{8}{4}}=\sqrt2$'dir.

[ERhan ERdoğan]

Çözüm2.

$BD$ köşegeninin orta noktası $K$ olsun. $|EK|=|FK|=1$ ve $\angle{EKF}=90^\circ$ olup, $|EF|=\sqrt{2}$ dir.

[geo]

Bu soru tipine ait birkaç özellik paylaşalım:

$ABCD$ dörtgeninde $AD$ nin orta noktası $E$, $BC$ nin orta noktası $F$ olsun.
$\angle FED = \alpha$, $AB=a$, $CD=c$, $EF=x$, $\angle DAB = A$, $\angle CDA = D$ diyelim.

• $x = \dfrac{\sqrt { a^2+c^2 - 2ac\cos (A+D) }}{2}$
  
  
• $\tan \alpha = \dfrac{a\sin A + c \sin D}{a \cos A - c \cos D}$
  
  
• $a=c \Longleftrightarrow \alpha = 90^\circ + \dfrac{A-D}{2}$