5 problem

[mustafakoylu]

1)Bir $ABC$ üçgenin yükseklikleri $[AD],[BE],[CF]$ dir.$P,Q$ ve $R$ sırasıyla $[DE],[EF],[FD]$ nin orta noktaları olduğuna göre $P,Q$ ve $R$ noktaları sırasıyla $[AB],[BC],[CA]$ ya çizilen dikmelerin aynı noktada kesiştiklerini gösteriniz.


2)Bir $ABC$ üçgeninin iki yüksekliği $BB'$ ve $CC'$ ; $|AB|\neq |AC|$ ; $BC$ nin orta noktası $M$; $ABC$ nin diklik merkezi $H$ ; $B'C'$ ile $BC$ nin kesim noktası $D$ olsun.$HD \perp MA$ olduğunu gösteriniz.


3)Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarının çap kabul eden bir yarım çember çizilsin.Bu yarım çemberin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını kestiği noktalar , sırasıyla $D$ ve $E$ olsun.$F$ ve $G$ ise sırasıyla , $D$ ve $E$ noktalarından $[BC]$ kenarına çizilen çizilen dikme ayakları olsunlar.$[DG]$ ile $[EF]$ nin kesim noktası $M$ olmak üzere $BC \perp MA$ olduğunu gösteriniz.

4)Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir $P$ noktası alınsın.$|BD| = |CE|$ ve $|PD| + |PE|$ minimum olacak şekilde $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktalarını belirleyiniz.


5)$ABC$ bir üçgen , $B$ ve $C$ den çıkılan iç açıortaylar $[AC]$ ve $[AB]$ kenarlarını sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarını kessin ve $I$ da keşissinler.$BIC$ açısının açıortayı $[ED]$ ve $[BC]$ yi sırasıyla $X$ ve $Y$ de kessin.$|XI| / |IY| = 1/2$ olduğuna göre , $CAB$ açısının ölçüsünü bulunuz

[ERhan ERdoğan]

çözüm-1

[Lokman Gökçe]

5. sorunun cevabı m(BAC) = 60^o dir. çözümünü yazmayacağım ama problemin nasıl kurulduğunu ve çıkış noktasını anlamamızı sağlayacak aşağıdaki öncü problemi çözebiliriz. Ayrıca 5. prblemin çözümünü merak edenler MD-2006-1 sayısı sayfa 82 yi okuyabilir.

[fegi]

3. sorunun çözümüdür...

[ERhan ERdoğan]

çözüm-2:

Tanım [Harmonik Bölme]: Bir doğru üzerinde $A$ ve $B$ gibi iki nokta alalım.$[AB]$ yi içten bölen $P$ noktası ile dıştan bölen $Q$ noktası için $\dfrac{AP}{AQ}=\dfrac{BP}{BQ}$   oluyorsa $P$ ve $Q$ noktaları $[AB]$ yi harmonik olarak böler. $P$ ve $Q$ noktalarının $[AB]$ yi harmonik bölüşü $(ABPQ)$  şeklinde gösterilir. Ayrıca $P$ ve $Q$ noktalarına $A$ ve $B$ noktalarının, karşıt olarak $A$ ve $B$ noktalarına $P$ ve $Q$ noktalarının harmonik eşlenikleri denir.

Teorem: Bir tam dörtgende, bir köşegen diğer iki köşegen tarafından harmonik olarak bölünür.

İspat: $ACC'$ üçgeninde $BB'$ kesenine göre Menelaus teoremi yazılırsa; $\dfrac{EC'}{EC}\cdot\dfrac{CB}{BA}\cdot\dfrac{AB'}{B'C}=1 \tag{1}$
 
$ACC'$ üçgeninin köşelerini $A'$ noktasına birleştiren doğrulara göre Ceva teoremi yazılırsa;

$\dfrac{C'D}{DC}\cdot\dfrac{CB}{BA}\cdot\dfrac{AB'}{B'C}=1 \tag{2}$
$(1)$ ve $(2)$ den,  $\dfrac{EC'}{EC}=\dfrac{DC'}{DC} \tag{3}$
$(3)$ bağıntısı $(DECC')$ bölmesinin harmonik olduğunu gösterir.
$(FEBB')$ ve $(FDAA')$ bölmelerininde harmonik olduğunu benzer şekilde gösterebiliriz.

Tanım: Bir daire ve bir $P$ noktası veriliyor. Bu noktadan geçen ve daireyi $A$ ve $B$ noktalarında kesen değişken bir doğru çiziliyor. $P$ noktasının $A, B$ noktalarına göre harmonik eşleniği olan $M$ noktası alınıyor. $M$ noktasının geometrik yeri bir doğru olup, bu doğruya $P$ noktasının daireye göre kutup doğrusu denir.

Bir noktanın kutup doğrusu, bu nokta ile merkezden geçen doğruya diktir.

Problem: $AB\neq AC$ olan $ABC$ üçgeninin iki yüksekliği $BB'$ ve $CC'$ , $[BC]$ nin orta noktası $M, ABC$ nin diklik merkezi $H$, $B'C'$ ile $BC$ nin kesim noktası $D$ olsun. $DH\perp AM$  olduğunu gösteriniz.

Çözüm: Teoreme göre;  $(AEC'B)$ ve $(AFB'C)$   bölmeleri harmoniktir. Buna göre $E$ ve $F$ noktaları $A$ noktasının daireye göre kutup doğrusu üzerindedir. O halde $DH$ doğrusu $A$ nın kutup doğrusu ve $M$ merkez olduğuna göre, $DH\perp AM$  dir.