Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1993 Soru 2

[geo]

Daraçılı bir $ABC$ üçgeni içindeki bir $D$ noktası, $\widehat{ADB} = \widehat{ACB} + 90^\circ$ ve $AC\cdot BD = AD \cdot BC$ koşullarını sağlamaktadır.

• $\dfrac {AB \cdot CD}{AC \cdot BD}$ oranının değerini bulunuz.
  
  
• $ACD$ ve $BCD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerine $C$ noktasında çizilen teğetlerin dik olduklarını kanıtlayınız.
  

[ERhan ERdoğan]

• $|BD| = |DE|$ olacak şekilde $BDE$ dik üçgenini inşaa edelim.
  
  $\angle{ADE} = \angle{ACB}$ açı eşitliğini görebiliriz. Soruda verilen bilgiyle birlikte, $\dfrac{AD}{DE} = \dfrac{AC}{BC}$ olduğundan $ACB$ üçgeni ile $ADE$ üçgeni benzer üçgenlerdir.
  
  Bu benzerliğe göre;
  
  $\angle{EAD} = \angle{BAC}  \Rightarrow \angle{EAB} = \angle{DAC}$ dir. $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AD}{AC}$ orantısı önceki benzerliğin bir sonucu idi bu sonuç bulunan açı eşitliği ile birlikte,
  
  $AEB$ üçgeni ile $ADC$ üçgeninin benzer üçgenler olduğunu gösterir.
  
  Bu benzerliğe göre;
  
  $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{EB}{DC} \Rightarrow  AB \cdot DC = AC \cdot EB = AC \cdot BD \cdot \sqrt{2}$
  
  Buradan, $\dfrac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD} = \sqrt{2}$  bulunur.
  
  
• $(ACD)$ ve $(BCD)$ çemberlerinin $C$ deki teğetlerinin dik olması, bu noktadaki normallerinin de dik olması demektir.
  
  Çemberlerin merkezleri sırasıyla $P$ ve $Q$ olsun. $PC \perp QC$ olduğunu göstereceğiz.
  
  $\angle{DAC}+\angle{DBC}=90^\circ$  dir. $\angle{PCD}=90-\angle{DAC}$ ve $\angle{QCD}=90-\angle{DBC}$ olup $\angle{PCD}+\angle{QCD}=180-(\angle{DAC}+\angle{DBC}) = 90^\circ$ dir.