Eğer tüm $x,y$ gerçel sayıları için $f(x+y) \ge f(xy) \tag{1}$
sağlanıyorsa $f(x)$ in sabit fonksiyon olduğunu göstereceğiz.
$x \to 0$ koyarsak tüm $y$ gerçel sayıları için $$f(y) \ge f(0) \tag{2}$$ elde ederiz. Şimdi de ilk eşitsizlikte $x \to -x$ koyalım. $f(0) \ge f(-x^2)$ elde ederiz. Bu şunu gösterir: Tüm $a$ pozitif olmayan gerçel sayıları için $$f(a) \ge f(0)$$ ve $$f(0) \ge f(a) $$ olduğundan tüm $a$ pozitif olmayan gerçel sayıları için $f(a)=f(0) \tag{3}$
dır.
Şimdi de tüm $b$ pozitif gerçel sayıları için $f(b)=f(0)$ olduğunu gösterelim. $y \to x$ koyalım. İlk eşitsizlikten $f(2x) \ge f(x^2)$ elde edilir. $x$ bir pozitif olmayan gerçel sayı olsun. O halde $f(2x)=f(0)$ olduğunu $(3)$ ten biliyoruz. O halde tüm $x^2=b$ pozitif gerçel sayıları için de $f(0) \ge f(b)$ elde edilir. $(2)$ den dolayı tüm $x$ pozitif gerçel sayıları için de $f(x)=f(0)$ olur.
Böylece tüm $x$ gerçel sayıları için $f(x)=f(0)$ elde edilir. $f(x)$ sabit fonksiyon olur. Çelişki! O halde böyle $x,y$ gerçel sayıları hep mevcuttur.
