Gönderen Konu: 1997 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19  (Okunma sayısı 1084 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1385
  • Karma: +3/-0
1997 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19
« : Mayıs 16, 2022, 02:54:12 öö »


Şekilde, $[AB]$ doğru parçası, $O$ merkezli ve $r$ yarıçaplı çemberin çapıdır. $P$ merkezli ve $s$ yarıçaplı çember, $r$ yarıçaplı çembere teğettir ve $[AB]$ ' ye de $O$ noktasında teğettir. $N$ merkezli ve $t$ yarıçaplı çember ise daha önce sözü edilen iki çembere ve $[AB]$ doğru parçasına teğettir. $r$ yarıçaplı dairenin alanı $t$ yarıçaplı dairenin alanının kaç katıdır?

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ 20  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1139
  • Karma: +9/-0
Ynt: 1997 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19
« Yanıtla #1 : Eylül 09, 2023, 10:34:40 ös »
Cevap: $\boxed{C}$

$ON$ doğrusu en küçük çemberin, en büyük çembere teğet olduğu noktadan geçeceğinden $|ON|=r-t$'dir. $|PN|=s+t$, $|OP|=s$'dir. $2s$ de $O$ merkezli çemberin yarıçapı olduğundan $s=\frac{r}{2}$'dir. $N$ merkezli çemberin $AB$'ye teğet olduğu noktaya $X$ dersek, $ONX$ üçgeninde pisagordan, $$|OX|^2=(r-t)^2-t^2$$ olacaktır. $N$'den $OP$'ye inilen dikmenin ayağı $Y$ olsun. $|NY|$ uzunluğu da $|OX|$ ile aynı olacağından $NPY$ üçgeninde pisagordan, $$|NY|^2=|OX|^2=(s+t)^2-(s-t)^2\implies (s+t)^2-(s-t)^2=4st=2rt=(r-t)^2-t^2$$ $$\implies 2rt=r^2-2rt\implies 4t=r$$ elde edilir. Yarıçapı $4$ katı olduğundan $r$ yarıçaplı çemberin alanı, $t$ yarıçaplı çemberin alanının $16$ katı olacaktır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal