Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2007 Soru 19

[ArtOfMathSolving]

$8^{26} \cdot 125^{48}$ sayısının yedi tabanına göre yazımının son iki basamağı nedir?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad{b)}\ 31
\qquad{c)}\ 41
\qquad{d)}\ 51
\qquad{e)}\ 61
$

[ArtOfMathSolving]

Yanıt:$\boxed{A}$

Yedi tabanına göre son iki basamağı bulmak için bu sayının $\pmod {7^2}$ verdiği kalana bakacağız.

$2^{78}\cdot 125^{48}  \equiv x \pmod {49}$ değerini bulmalıyız. Euler Teoreminden $\varphi \left( 49\right)=(7^2-7^1)=42$ dir.

$2^{78}\cdot 125^{48}  \equiv 2^{36}\cdot 2^{42}\cdot 125^{6}\cdot 125^{42}\equiv 2^{36}\cdot 125^{6} \equiv 15^6 \cdot 27^6  \equiv (405)^6 \equiv 13^6  \equiv 15 \pmod {49}$ elde edilir.

$15$'in $7$ tabanında yazımı, $15= 2\cdot 7^1 + 1\cdot 7^0 =(21)_7$ elde edilir.