Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 02

[geo]

$p$ ve $p^2+2$ asal sayılarsa, $p^3+3$ sayısının en çok kaç asal böleni olabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$p=3$ asalı için $p^2+2=9+2=11$ asaldır. Bu durumda $p^3+3=27+3=30 = 2 \cdot 3\cdot 5 $ şeklinde $3$ farklı asal çarpan elde edilir.

$p \neq 3$ durumunda çözüm olmadığını gösterelim. Fermat teoreminden $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$ olur. Bu halde $p^2+2 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \pmod{3}$ tür. Yani $3|p^2+2$ olup $p^2+2$ sayısı bileşiktir.