MD 116.Sayı Y.571

[alpercay]

$2p^3+4p^2-3p+12$ sayısının bir tamsayının $5.$ kuvvetine eşit olmasını sağlayan $p$ asal sayılarını bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

$2p^3+4p^2-3p+12=n^5$ olsun. $q$ bir asal sayı olmak üzere $n^q$'yu ufak asalların yanında, $qk+1$ formatındaki asallarda incelemek mantıklıdır. Denklemi $11$ modunda incelersek, $n^5\equiv 0,1,-1\pmod{11}$ olacaktır. $$2p^3+4p^2+8p+1\equiv n^5\equiv 0,1,-1\pmod{11}$$ olacaktır. $p\equiv 0,1,\dots,10\pmod{11}$ için incelersek $p\not\equiv 0$ için çelişki gelir. $p$ asal olduğundan $p\equiv 0\pmod{11}$ durumunda $p=11$ olmalıdır. Bu durumda da $n=5$ bulunacaktır. Tek çözüm $(p,n)=(11,5)$'dir.