$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ toplamı

[Metin Can Aydemir]

Problem: (Metin Can Aydemir) $a$ ve $b$ pozitif tamsayılar olmak üzere $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{k}{2024}$$ denkleminin $(a,b)$ için çözümü olmamasını sağlayan en küçük $k$ pozitif tamsayısı nedir?

[alpercay]

Korsan çözüm:
Fibonacci algoritmasından $$7/2024=7/2030 +(7/2024-7/2030) $$ $$7/2024 =1/290+3/145$$ olduğundan ($3/145$ birim kesir değil) en küçük $k=7$ olmalı. $k\lt 7$ için algoritma  2 uzunluğunda (iki adet) birim kesirler veriyor.

[Metin Can Aydemir]

$k$ üzerinden çözmeye çalışalım. Eşitlikte her tarafı $2024ab$ ile çarparsak, $$2024a+2024b=kab$$ elde edilir. Her tarafı önce $k$ ile çarpıp, sonra da her tarafa $2024^2$ eklenirse $$(ka-2024)(kb-2024)=2024^2=2^6\cdot 11^2\cdot 23^2$$ bulunur. Eğer $k\mid 4048$ olursa, $ka-2024=kb-2024=2024$, yani $a=b=\frac{4048}{k}$ seçilerek verilen eşitliğe bir çözüm bulunabilir. Dolayısıyla $k=1,2,4$ için çözüm vardır.

$k=3$ için $ka-2024=4$ ve $kb-2024=1012^2$ seçersek, $a=676$ ve $b=\frac{1012^2+2\cdot 1012}{3}=\frac{1012\cdot 1014}{3}=1012\cdot 338$ bir çözümdür.

$k=6$ için $k=3$ durumundaki çözümlerin yarısını seçebiliriz. Yani $a=\frac{676}{2}=338$ ve $b=\frac{1012\cdot 338}{2}=506\cdot 338$ seçebiliriz.

$k=5$ için $ka-2024=1$ ve $kb-2024=2024^2$ seçersek, $a=\frac{2025}{5}=405$ ve $b=\frac{2024+2024^2}{5}=\frac{2024\cdot 2025}{5}=405\cdot 2024$ seçebiliriz.

$k\leq 6$ için denklemin çözümü vardır. $k=7$ için çözüm olmadığını gösterelim. Aksini varsayalım. $$(7a-2024)(7b-2024)=2^6\cdot 11^2\cdot 23^2$$ olacaktır. $$7a-2024\equiv 6\pmod{7}$$ olduğundan $2^6\cdot 11^2\cdot 23^2$'nin $7k+6$ formatında bir böleni olmalıdır. $d\mid 2^6\cdot 11^2\cdot 23^2$ ise $$11\equiv 2^2\pmod{7}\text{  ve  }23\equiv 2\pmod{7}$$ olduğundan, $d$'nin $7$'ye bölümünden kalan, $2$'nin bir kuvvetine denk olmalıdır. Ancak $$2^n\equiv 1,2,4\pmod{7}$$ olduğundan asla $6$ kalanı vermeyecektir. Demek ki böyle bir $d$ yoktur. Dolayısıyla, çözüm de yoktur.

[alpercay]

Çözümde  https://geomania.org/forum/index.php?topic=8312.0 bağlantısında kanıtlanan teoremden faydalanalım. Buna göre çözümler $(d_1,d_2)=1$, $d_1|2024$, $d_2|2024$ ve $k|(d_1+d_2)$ olmak üzere $a=\dfrac{2024}{k}\dfrac{d_1+d_2}{d_1}$ ve $b=\dfrac{2024}{k}\dfrac{d_1+d_2}{d_2}$  formunda olmalı.


$k|(d_1+d_2)$ olması gerektiğinden $2024$ sayısının aralarında asal olan $(d_1,d_2)$ pozitif bölenleri:

$(1,2),(1,4),(1,8),(1,11),(1,22),(1,23),(1,44),(1,46),(1,88),
(1,92),(1,184),(1,253),(1,506),(1,1012),(1,2024),
(2,11),(2,23),(2,253),(4,11),(4,23),(4,253),
(8,11),(8,23),(8,253),(11,23),(11,46),(11,92),
(11,184),(22,23),(23,44),(23,88)$

ve bunların  toplamı
​
$(1,2)→3,
(1,22)→23,
(1,88)→89,
(1,506)→507,
(2,11)→13,
(4,11)→15,
(8,11)→19,
(11,23)→34,
(11,184)→195,
​
 
(1,4)→5,
(1,23)→24,
(1,92)→93,
(1,1012)→1013,
(2,23)→25,
(4,23)→27,
(8,23)→31,
(11,46)→57,
(22,23)→45,
​
 
(1,8)→9,
(1,44)→45,
(1,184)→185,
(1,2024)→2025,
(2,253)→255,
(4,253)→257,
(8,253)→261,
(11,92)→103,
(23,44)→67,
​
 
(1,11)→12,
(1,46)→47,
(1,253)→254,
(23,88)→111$
olduğundan $k=3,4,5,6$ değerlerini alabileceği görülür. Ancak hiçbir toplam $7$ nin katı olmadığından $k=7$ olamaz.
​