Putnam 2018

[alpercay]

$\frac1a+\frac1b=\frac3{2018}$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b$ doğal sayı çiftlerini bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

İfadede payda eşitleyip, içler dışlar çarpımı yaparsak $$3ab=2018a+2018b\implies 9ab-3\cdot 2018a-3\cdot 2018b=0$$ $$(3a-2018)(3b-2018)=2018^2$$ elde edilir. $2018^2$'nin bir böleni olan $d$'yi ele alırsak, her $d$ için $$(3a-2018,3b-2018)=\left(d,\frac{2018^2}{d}\right)\implies (a,b)=\left(\frac{d+2018}{3},\frac{\frac{2018^2}{d}+2018}{3}\right)$$ çözümü elde edilir. $a$ ve $b$ pozitif tamsayılar olduğundan $d\equiv 1\pmod{3}$ ve $d>-2018$ olmalıdır. Bu iki koşul sağlandığında $a$'nın pozitif tamsayı çıktığı görülebilir. Ama $-2018<d< 0$ olduğunda $\frac{2018^2}{d}< -2018$ olacağından $d>0$ seçmeliyiz. Bu durumda $\frac{2018^2}{d}\equiv 1\pmod{3}$ ve $\frac{2018^2}{d}>0>-2018$ olacaktır. Yani $2018^2$'nin pozitif ve $d\equiv 1\pmod{3}$ böleni için tam olarak bir çözüm buluruz. Diğer bölenleri için çözüm gelmeyecektir.

$2018^2=2^2\cdot 1009^2$ olduğundan $2018^2$'nin $3k+1$ formatındaki pozitif bölenleri $d=1,1009,1009^2,2^2,2^2\cdot 1009,2^2\cdot 1009^2$ olmak üzere $6$ tanedir. Bu değerler için $(a,b)$ çiftleri $$(673,1358114),(674,340033),(1009,2018),(2018,1009),(340033,674),(1358114,673)$$ olarak bulunur.

[alpercay]

Doğan Dönmez hocanın çözümü :
Denklemi düzenleyip:


$3ab-2018a-2018b=0$ şekline getirelim. (EK : önce her iki tarafı $3$ ile çarptıktan sonra) Her iki tarafa da $2018^2$ eklenirse, sol taraf çarpanlara ayrılabiliyor.

$(3a-2018)(3b-2018)=2018^2=2^2\cdot1009^2$ ($1009$ bir asal sayıdır.)

Sol taraftaki çarpanlar tamsayı ve ikisi de $\equiv1\mod4$ olduğu için, Aritmetiğin Temel Teoreminden,

$3a-2018=1,\ 3b-2018=2018^2$ ya da

$3a-2018=4,\ 3b-2018=1009^2$ ya da,

$3a-2018=1009,\ 3b-2018=4\cdot1009$ ya da yukarıdaki eşitliklerde, $a$ ile $b$ nin yer değiştirdiği durumlar olmalıdır. 

Bunlar da, bize $\{a,b\}=\{673,2018\times 673\},\{674,1009\times 337\},\{1009,2018\}$ çözümlerini verir.

(Biraz daha uzun çözüm:

$3ab=2018(a+b)$ eşitliğinden, önce, $a\mid 2018b$ ve $b\mid 2018a$, daha sonra ($\mathbf{a< b}$ durumunda) , $1009\mid b$ elde edilir.

Daha sonra da, $b=1009k \ (k\in\mathbb{N}^+)$ yazıp, olası $k$ ve $a,b$ değerleri bulunur.)

[alpercay]

https://geomania.org/forum/index.php?topic=8312.0   bağlantısında kanıtlanan teoreme göre, $1/a+1/b=m/n$ denkleminin çözümlerinin olması için  $(d_1,d_2)=1$ ,$d_1|n$, $d_2|n$, $m|d_1+d_2$ olacak şekilde $d_1,d_2$ sayıları mevcut olmalıdır.

Bu durumda çözümler $a=\dfrac{n(d_1+d_2)}{md_1}$,   $b=\dfrac{n(d_1+d_2)}{md_2}$ biçimindedir. Buna göre çözümleri bulmak $2018$ sayısının bölenlerinden aralarında asal ve $3|d_1+d_2$ şartını sağlayan bölen çiftlerini kullanmak  yeterli.

$(d_1,d_2)=(1,2)$ alındığında $a=2018$, $b=1009$

$(d_1,d_2)=(2,1009)$ alındığında $a=1009\times337$, $b=674$

$(d_1,d_2)=(1,2018)$ alındığında $a=2018\times673$, $b=673$ bulunur.