$2(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ olduğundan verilen eşitliği sağlayan bir polinom için $P(x)=\frac{4}{x}$ polinomunun bir kökü $\sqrt{5}+\sqrt{3}$'dür. Dolayısıyla da $x=\sqrt{5}+\sqrt{3}$ sayısı $Q(x)=xP(x)-4$ polinomunun bir köküdür.
Normalde Field Theory'e göre farklı $p,q$ asalları için $\sqrt{p}$ ve $\sqrt{q}$'nun rasyonel katsayılı minimal polinomları $x^2-p$ ve $x^2-q$ olmak üzere $2$. dereceden olduğundan $\sqrt{p}+\sqrt{q}$'nun rasyonel katsayılı minimal polinomu $2\cdot 2=4.$ dereceden ve polinomun kendisi de $$(x+\sqrt{p}+\sqrt{q})(x+\sqrt{p}-\sqrt{q})(x-\sqrt{p}+\sqrt{q})(x-\sqrt{p}-\sqrt{q})$$ olmalıdır. Bunu bilgi olarak buraya bırakıyorum ve daha basit yollarla çözüme devam ediyorum.
$\sqrt{5}+\sqrt{3}$'ün kök olduğu en küçük dereceli $Q$ polinomunu arıyoruz. $\sqrt{5}+\sqrt{3}$'ün $\sqrt{3}$'e göre eşleniği olan $\sqrt{5}-\sqrt{3}$'ü de kullanırsak, $$(x-\sqrt{5}-\sqrt{3})(x-\sqrt{5}+\sqrt{3})=(x-\sqrt{5})^2-3=x^2-2\sqrt{5}x+2$$ polinomunu elde ederiz. $\sqrt{5}$'i yok etmek içinse polinomu eşleniğiyle çarparsak $$(x^2-2\sqrt{5}x+2)(x^2+2\sqrt{5}x+2)=(x^2+2)^2-20x^2=x^4-16x^2+4$$ elde ederiz. $\sqrt{5}+\sqrt{3}$, bu polinomun kökü olduğundan $Q$ polinomu $4$. dereceden olabilir. Birinci veya ikinci dereceden olamayacağı kolaylıkla görülebilir. Üçüncü dereceden $x^3+ax^2+bx+c$ polinomunu deneyelim. Katsayılar rasyonel olduğundan başkatsayıyı $1$ kabul edebiliriz. $$x^3+ax^2+bx+c\Big\vert_{x=\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2a\sqrt{15}+(14+b)\sqrt{5}+(18+b)\sqrt{3}+8a+c=0$$ elde edilir ancak $\sqrt{5}$ ve $\sqrt{3}$ aynı anda yok edilemeyeceği için uygun bir polinom yoktur. Yani $Q$, en az $4.$ derecedendir. $x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ için incelersek $1,\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{15}$'in katsayılarını sıfıra eşitleyeceğimizden elimizde $4$ değişkenli, $4$ lineer denklem olacaktır ve tek çözümü de $x^4-16x^2+4$ bulunacaktır. Dolayısıyla, $4.$ dereceden olup, $\sqrt{5}+\sqrt{3}$'ün de kökü olduğu tüm rasyonel katsayılı polinomlar $k\in\mathbb{Q}-\{0\}$ olmak üzere $Q(x)=k(x^4-16x^2+4)$ formatındadır. $Q(0)=0P(0)-4=-4$ olduğundan $k=-1$'dir. Buradan $$-x^4+16x^2-4=xP(x)-4\implies P(x)=16x-x^3$$ elde edilir. $P(2)=24$ bulunur.
