Altın Oran ile ilgili birkaç özellik

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Altın oran $\phi$ ile gösterelim), $x^2-x-1$ denkleminin pozitif reel köküdür ve $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ olduğunu biliyoruz. $\phi^2=\phi+1$ olduğu da göz önünde bulundurulduğunda $F_k$ , $k$'ıncı Fibonacci sayısı ise


$i)$ $\phi^{k+2}=\phi^{k+1}+\phi^k$

$ii)$ $\phi^{k+3}=2\phi^{k+1}+\phi^{k}$

$iii)$ $\phi^k=F_k\phi+F_{k-1}$ 

$iv)$ $\dfrac{1}{\phi^{k}}=\dfrac{1}{F_{k+1}}-\dfrac{F_k}{F_{k+1}\left(F_{k+1}\phi+F_k\right)}$


$v)$ $\phi^{2k}+\dfrac{1}{\phi^{2k}}$  ifadesinin bir tam sayıdır olduğunu

$vi)$ $\phi^{2k-2}+\dfrac{1}{\phi^{2k-2}}=T_{2k-2}$  için  $T_{2k}=3T_{2k-2}-F_{k+1}$  ifadesini


tüm $k\geq 1$ tam sayıları için doğrudur, ispatlayınız.

[barispro31]

i) en kolay ispat ϕ^2-ϕ-1=0 çünkü ϕ köküdür ve ϕ^k  ile çarpsak ϕ^{k+2}=ϕ^{k+1}+ϕ^k 
ii) i özellikten ϕ^{k+3}=ϕ^{k+2}+ϕ^{k+1} ve bunu k+2 için yapsak ϕ^{k+2}=ϕ^{k+1}+ϕ^k  ϕ^{k+3}=2ϕ^{k+1}+ϕ^k gelir
iii)  ben burada tümevarım ile  ispat yapacağım ama şu fikir ile ispat yapabilir ϕ^n ifadesi i özellikten dolayalı k=0 koyup   ϕ^2=ϕ+1(kelper üçgeni ) ve bunu kullanarak formundaki Aϕ+b ifadesine indireceği bariz bu fikirden yapabilir ya da özyinemeleri denklem çözmeyi biliyorsan  çözüm yapabilir. Burada en önemli şey şudur: fibonnaci  dizisi alternatif formda tanımlamak  münküdür , normal şartlarda F_1=1,F_2=1 burada ise F_0=1,F_1=1 böyledir bana kalırsa en doğru   alternatif tanımdır. (neyse) buna bağlı olarak binet formülleri  değişir bir kaynakça bırakmak  istiyorum  ben yazdım birde lokman hocanın . İSPAT: 1 den k kadar doğru kabul edip k+1  için doğru olduğunu göstermek yeter. Yani başka deyişler k burada sonsuza gidecek  ve sonsuz tane sayı doğru kabul edip eğer sonsuz+1 sayısına doğru olduğunu göstermek sonsuz tane için sayı doğru olduğunu gösterir. ϕ^{k+1}=ϕ^k+ϕ^{k-1} özelliğinden ve kabul ettiniz eşitliklerden ϕ^k=F_kϕ+F_{k-1} ve  ϕ^{k-1}=F_{k-1}ϕ+F_{k-2} toplarsak gelir , birde F_{k-2}+F_{k-1}=F_k bunu kullanmak gerekir.