Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2001 #A.3

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
Her $x_1,x_2,\cdots,x_n$ reeli ve $k\geq 1$ tam sayısı için


$$\dfrac{x_1}{1+x_1^{2k}}+\dfrac{x_2}{1+x_2^{2k}}+\cdots+\dfrac{x_n}{1+x_n^{2k}}<\sqrt[2k]{n^{2k-1}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$k=1$$
verildiğinde problem IMO Shortlist 2001 #A.3'e dönüşür ve $LHS<\sqrt{n}$ eşitsizliğini elde ederiz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Eşitsizlik şuna denktir
$$\left(\sum_{cyc}{\dfrac{x_1}{1+x_1^{2k}}}\right)^{2k}<n^{2k-1}$$
olduğunu ispatlamalıyız. Fakat Hölder Eşitsizliği ile

$$n^{2k-1}\sum_{cyc}{\dfrac{x_1^{2k}}{1+x_1^{2k}}}=\overbrace{(\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\quad kez})(1+1+\cdots+1)\cdots (1+1+\cdots+1)}^{2k-1\quad kez}\cdot \sum_{cyc}{\dfrac{x_1^{2k}}{1+x_1^{2k}}}\overbrace{\geq}^{Hölder} \left(\sum_{cyc}{\dfrac{x_1}{1+x_1^{2k}}}\right)^{2k}$$
olduğunu söyleyebiliriz. Buna göre
$$LHS^{2k}=\left(\sum_{cyc}{\dfrac{x_1}{1+x_1^{2k}}}\right)^{2k}\leq n^{2k-1}\left(\sum_{cyc}{\dfrac{x_1^{2k}}{1+x_1^{2k}}}\right)$$
Şimdi teleskobik bir hamle yapıldığında
$$LHS^{2k}\leq n^{2k-1}\left(\sum_{cyc}{\dfrac{x_1^{2k}}{1+x_1^{2k}}}\right)$$
$$\leq n^{2k-1}\left(\dfrac{x_1^{2k}}{1\cdot (1+x_1^{2k})}+\dfrac{x_2^{2k}}{(1+x_1^{2k})(1+x_1^{2k}+x_2^{2k})}+\cdots+\dfrac{x_n^{2k}}{(1+x_1^{2k}+x_2^{2k}+\cdots+x_{n-1}^{2k})(1+x_1^{2k}+x_2^{2k}+\cdots+x_n^{2k})}\right)$$
$$=n^{2k-1}\left(1-\dfrac{1}{1+x_1^2}+\dfrac{1}{1+x_1^{2k}}-\dfrac{1}{1+x_1^{2k}+x_2^{2k}}+\dfrac{1}{1+x_1^{2k}+x_2^{2k}}-\cdots-\dfrac{1}{1+x_1^{2k}+x_2^{2k}+\cdots+x_n^{2k}}\right)$$
$$=n^{2k-1}\left(1-\dfrac{1}{1+x_1^{2k}+x_2^{2k}+\cdots+x_n^{2k}}\right)<n^{2k-1}$$
olarak elde edilir ve ispat tamamlanır.