Genelleştirilmiş IMO Shortlist 1990 #24

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
Her $n\geq 1$ tam sayısı için $a_1,a_2,\cdots,a_{2n}$  pozitif reeller ve $p,k\leq 0$  reel sayılar olsun. $\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2n}\right)=1$ eşitliği sağlanıyorsa

$$\dfrac{a_1^k}{\left(a_2+a_3+\cdots+a_{2n}\right)^{p+k}}+\dfrac{a_2^k}{\left(a_3+a_4+\cdots+a_1\right)^{p+k}}+\cdots+\dfrac{a_{2n}^k}{\left(a_1+a_2+\cdots+a_{2n-1}\right)^{p+k}}$$
$$\geq \dfrac{2n^{p+1}}{\left(2n-1\right)^{p+k}}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş Radon Eşitsizliği'ni kullanacağız.
$$LHS=\sum_{cyc}{\dfrac{a_1^k}{(a_2+a_3+\cdots+a_{2n})^{p+k}}}\overbrace{\geq}^{Genelleştirilmiş \quad Radon} \dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_{2n}\right)^{p+k}}{(2n)^{p-1}\left[(2n-1)(a_1+a_2+\cdots+a_{2n})\right]^{k}}$$
$$=\dfrac{(a_1+a_2+\cdots+a_{2n})^p}{(2n)^{p-1}\cdot (2n-1)^k}$$
Problemde verilen koşul şunu elde etmemizi sağlar
$$a_1+a_2+\cdots+a_n\overbrace{\geq}^{AGO} 2\sqrt{(a_1+a_2+\cdots+a_n)(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2n})}=2$$
Dolayısıyla ispatı
$$LHS\geq \dfrac{(a_1+a_2+\cdots+a_{2n})^p}{(2n)^{p-1}\cdot (2n-1)^k}\geq \dfrac{2^p}{(2n)^{p-1}\cdot (2n-1)^k}=\dfrac{2}{n^{p-1}\cdot (2n-1)^k}$$
şeklinde tamamlarız.