Fermat'nın Son Teoreminin Bir Uygulaması

[Lokman Gökçe]

Konu başlığına bakarak şaka yaptığımız düşünülmesin. Gerçekten Fermat'nın Son Teoremi'ni bir problem çözümünde uygulayacağız.

Problem: Her n > 1 tamsayısı için 2^1/n sayısı irrasyoneldir, gösteriniz.

Çözüm: n = 2 için kök(2) nin irrasyonel olduğunu Euclid ispatlamıştı. n > 2 olsun. (p, q) = 1 olmak üzere 2^1/n = p/q olduğunu kabul edelim. pⁿ = 2qⁿ olup  pⁿ =  qⁿ + qⁿ yazılır. Bu ise Fermat'nın son teoremine göre mümkün değildir (Andrew Wiles ispatlamıştı) Tümevarım prensibi gereğince her n > 1 için 2^1/n sayısı irrasyoneldir.

Son teorem'in kullanışsız olduğu söylenir, işte uygulamasını yaptık

bu kadar şaka yeterli diyenler için şunu soralım:

- peki son teorem'i kullanmadan yukarıdaki probleme bir çözüm verebilir misiniz?

bu kadar şaka yetmez, işi biraz daha sulandıralım diyenler için de şunu soralım:

- Son teorem ile ilgili başka bir uygulama problemi verebilir misiniz?

[Beyşehirli]

Son teorem kullanılmadan yapılan bir çözüm:
pⁿ = 2qⁿ eşitliğinde sağ taraf çift olduğu için sol tarafın da çift olması gerekir o halde p = 2a dır. Şimdi denklem 2^n-1aⁿ = qⁿ haline geldi. Aynı mantıkla q nun da çift olması gerekir . Hem p hem de q çift oldu, bu da (p,q) = 1 olması ile çelişir

[alpercay]

Verilen denklemin pozitif tamsayı çözümlerini bulunuz:

$$ x^3-15x^2+75x +27y^3 = 341$$

[alpercay]

Denklemi $(x-5)^3+(3y)^3=6^3$ olarak yazabiliriz. Fermat'ın son teoremine göre $x-5\le0$ ve $y\le0$ olacağından biricik pozitif çözüm $x=5$ ve $y=2$ olur.