Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 13

[Squidward]

$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunun $[BC]$ kenarı üzerinde alınan bir $E$ noktası için, $|BE| > |EC|$, $Alan(ABE) = 15$, $Alan(AED) = 23$ ve $Alan(ECD) = 4$ ise, $\frac{|BE|}{|EC|}$ oranı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 9$

[Squidward]

Yanıt: $\boxed{A}$

$E$ noktasından $AB$ ve $DC$ inilen dikme ayakları sırasıyla $K, L$ olsun. $|EK| = |BE| \cdot h$ dersek $|EL| = |EC| \cdot h$ olur. Alan bağıntılarını yazarsak

$Alan(AEB) = |AB| \cdot |BE| \cdot h \cdot \frac{1}{2} = 15$

$Alan(DCE) = |DC| \cdot |EC| \cdot h \cdot \frac{1}{2} = 4$ ve yamuk alan formülünden

$(|AB|+|DC|) \cdot (|EC| \cdot h + |BE| \cdot h) \cdot \frac{1}{2} = 84$ elde edilir.

Son eşitlik açılır ve ilk iki eşitlikten elde edilenler yerine konursa

$|AB| \cdot |EC| \cdot h + |DC| \cdot |BE| \cdot h = 46$ elde edilir.

İlk iki eşitlikten $|AB|$ ve $|DC|$ çekilip son eşitlikte yazılırsa,

$30 \cdot \frac{|EC|}{|BE|} + 8 \cdot \frac{|BE|}{|EC|} = 46$ elde edilir. $\frac{|BE|}{|EC|} = x $ denirse

$\frac{30}{x} + 8x = 46$ denklemi elde edilir, $x$ ile genişletilirse ve denklem sol tarafa alınır, $2$ ile sadeleştirilirse $4x^2 - 23x + 15 = 0$ elde edilir. Bu denklem $(x-5)(4x-3) = 0$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Soruda verilen $|BE| > |EC|$ şartı yüzünden $ x = \frac{BE}{EC} = 5$ bulunur.


 

[Lokman Gökçe]

$|BE|=x, |CE|=y$ olsun. $z=\dfrac{x}{y}$ dersek $x>y$ verildiğinden $z>1$ olmalıdır. $DE$ ve $BC$ doğrularının kesişimi $F$ olsun. $Alan(BFE)=S_1$ diyelim. $BEF \sim CED$ (açı-açı-açı) benzerliği olup, alanlar oranı ve benzerlik ilişkisinden $ \dfrac{S_1}{4} = \left( \dfrac{x}{y}\right)^2$ dir. Ayrıca, yükseklikleri aynı üçgenlerde taban-alan ilişkisinden $\dfrac{Alan(AEF)}{Alan(AED)} = \dfrac{|EF|}{|DE|}=\dfrac{x}{y}$ olup $\dfrac{15+S_1}{23} = \dfrac{x}{y}$ dir. Bu eşitliklerden,

$$ S_1 = 23z - 15 = 4z^2 $$

olup $4z^2 - 23z + 15 = 0 \implies (4z-3)(z-5)=0$ denklemi bulunur. Denklemin $1$'den büyük olan kökü $z=5$ tir.