Balkan Matematik Olimpiyatı 2025 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$n>1$ bir tam sayı olsun. $1,2,3, \dots ,n$ sayılarının bir $a_1,a_2,a_3, \dots, a_n$ permütasyonu

• her $1 \leq i \leq n-1$ için $a_i$ ve $a_{i+1}$ sayılarının biri tek, diğeri çift;
• her $1\leq k\leq n$ için $a_1+a_2+ \dots +a_k$ toplamı $n$ modunda kare kalan

olacak şekilde bulunabiliyorsa $n$ sayısına $\textit{iyi}$ diyelim. Sonsuz sayıda iyi sayı bulunduğunu ve sonsuz sayıda iyi olmayan sayı bulunduğunu gösteriniz.

Not: Bir $x$ tam sayısı için, $x \equiv y^2 \pmod n$ olacak şekilde bir $y$ tam sayısı bulunuyorsa $x$ sayısına $n$ modunda kare kalan deniyor.