ABC Matematik Olimpiyatından birkaç geometri problemi

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problem 13. $ABC$  üçgeninde $H$  diklik merkezi, $O$  ise çevrel çember merkezi, $AD$  ise üçgenin bir yüksekliğidir. $X$  noktası $BHC$  üçgeninin çevrel çember merkezi olsun. $AO=25$,  $AH=20$  ve $BD.CD=300$  ise $AX$  kaçtır?

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$H$  diklik merkezinin kenarlar üzerinde simetrisi çevrel çember üzerinde olduğundan $BD.CD=AD.HD$  dir. $AH=20$  olduğundan $AD(AD-20)=300$  yani $AD=30$  elde edilir. $AH\cap (ABC)=H'$  ve $AH\cap (BHC)=Q$  diyelim. $AH=20$, $HD=DH'=10$  ve $D$  noktasının $(BHC)$  çemberine göre kuvvetinden $DQ=30$  bulunur. Ayrıca $QBC\cong ABC$  olduğunu görmek zor değildir ($BD\perp AQ$  ve $AD=DQ$).  Buna göre çevrel yarıçapları da eşittir, yani $HX=AO=25$  olur. $HX^2-HH'^2=15^2=AX^2-AH'^2=AX^2-40^2$  olduğundan $AX=\sqrt{15^2+40^2}=5\sqrt{73}$  elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problem 9. $ABC$  üçgeninde $BC$  doğrusunun $AC$  ve $AB$ 'ye göre yansımaları, $A$ 'dan $ABC$ 'nin çevrel çemberine çizilen teğet doğrusunu sırasıyla $D$  ve $E$ 'de kesiyor. $BC.ED=180$  ve $ABC$ 'nin çevrel çember yarıçapı uzunluğu $5$  ise $D$  ve $E$ noktalarının $BC$ 'ye uzaklıkları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 18  \qquad\textbf{d)}\ 20  \qquad\textbf{e)}\ 23$

[geo]

Problem 9:

Standart notasyonla, $ABC$ üçgeninin kenarları $a,b,c$; çevrel yarıçap $R$; $a$ kenarına ait yükseklik $h_a$ olsun.
$(AA)$ dan $\triangle DAC \sim \triangle ABC \sim \triangle EBA$.
$AE=AD=\dfrac{bc}a$. Dolayısıyla $BC\cdot ED = 2bc = 180$.

$A$, $D$, $E$ noktalarından $BC$ ye inilen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $H, K, L$ olsun. $DK+EL = 2\cdot AH = 2h_a$.
$[ABC]=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{ah_a}{2} \Longrightarrow h_a =\dfrac{bc}{2R}=9 \Longrightarrow DK+EL=2h_a=18$.

[geo]

Problem 9:

$DC$ ile $EB$, $F$ de kesişsin.
$A$, $\triangle BCF$ nin dış merkezi olacaktır. Dış teğet çember, $EB$, $BC$, $CD$ ye sırasıyla $P$, $Q$, $R$ noktalarında dokunsun.
Aynı zamanda $\angle ADC = \angle BEA$ olduğu için $DF=EF$ ve $DA=AE$ olacaktır. $E$ den $FD$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun.
$D$ ve $E$ nin $BC$ ye olan uzaklıkları toplamı $2\cdot AQ = 2\cdot AR = EH$ ye eşittir.
$ABC$ çemberinin $B$ den geçen çapı, çemberi $S$ de kessin. $\angle BSC = \angle BAC = \angle EDH$ olduğu için $\triangle BSC \sim \triangle EDH$. Dolayısıyla, $\dfrac{BC}{EH} = \dfrac{BS}{ED} \Longrightarrow EH = \dfrac{BC\cdot ED}{BS}=\dfrac{180}{2\cdot 5}=18$.

[geo]

Problem 9 dan esinlenerek şöyle bir soru üretebiliriz:

$ABC$ üçgeninde $I$ iç merkez, $J$ de $A$ köşesine karşı dış merkez olsun. $J$ merkezli dış teğet çember $AB$ ye $T$ de dokunsun. $[JBC]=[ITJ]$ olduğunu gösteriniz.