Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 29

[matematikolimpiyati]

$|AB|=6$, $|AC|=8$, $s(\widehat{BAC})=90^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin ve $B$ köşesine göre dış teğet çemberinin merkezleri sırasıyla $I$ ve $J$ ise $|IJ|$ uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ 4\sqrt5  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[alpercay]

Yanıt $\boxed{B}$

İç teğet çember ve dış teğet çemberin yarıçaplarını sırasıyla $r$ , $R$ ve üçgenin çevresini $2u$ ile gösterelim.

Alan$\triangle ABC=u.r=b.c/2$ eşitliğinden $12.r=24$ ve $r=2$ bulunur. $I$ noktasından üçgenin $AB,BC,AC$  kenarlarına indirilen dikme ayakları sırasıyla $K,L,M$ ve $J$ noktasından $AC$ kenarına ve $BA$ ışınının uzantısına inilen dikme ayakları sırasıyla $T,N$ olsun. $I$ ve $J$ noktaları teğet  çemberlerin merkezleri olarak verildiğinden $B,I,J$ noktaları doğrusaldır. Bu noktaları  birleştirelim. $AKIM$ ve $ANJT$ dörtgenleri kenarları sırasıyla $r=2$  ve $R$ olan iki karedir; dolayısıyla $|BK|=4, |IK|=2, |AN|=R$   ve $|BI|=2\sqrt{5}, |BN|=6+R$ olur.

$\triangle BIK$  ve $\triangle BJK$  üçgenlerinin benzerliğinden  $$\dfrac{2}{R}=\dfrac{2\sqrt{5}}{BJ}$$  ve $|BJ|=R\sqrt{5}$ bulunur.

$\triangle BNJ$ üçgeninde Pisagor teoreminden $$(6+R)^2+R^2=(R\sqrt{5})^2$$  $$R^2-4R-12=0$$ denkleminin pozitif kökü olarak $R=6$ olmalıdır.

$I$ noktasından $JN$ doğrusuna indiğimiz dikmenin ayağı $Q$ olsun. $\triangle QIJ$ dik kenarları $R+2$  ve $R-2$ olan bir dik üçgen olup bu üçgende Pisagor teoremi yazılırsa $$|IJ|^2=(R+2)^2+(R-2)^2=2R^2+8$$ olur.

$R=6$ olduğundan $|IJ|=4\sqrt{5}$ bulunur.

[geo]

$I$ dan $BC$, $AC$, $AB$ doğrusuna inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $L$, $M$, $K$;
$J$ dan $BC$, $AC$, $AB$ doğrusuna inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $S$, $T$, $N$ olsun.

$AK=AM=x$, $BK=BL=y$, $CL=CM=z$ olsun.
$BC=a=y+z$, $AC=b=x+z$, $AB=c=x+y$.
$u=\dfrac{a+b+c}{2}=x+y+z$

$2BN=2BS=BN+BS=AB+BC+AN+CS$ $=AB+BC+AT+CT=AB+BC+AC=2u$ ve $BN=u$

$BK=y=u-b$, $AK=x=u-a$, $AN=u-c$ ve $KN=2u-a-c=b$ dir.
$I$ dan $JN$ ye inilen dikmenin ayağı $Z$ olsun. $IZ=KN=b$ ve $\angle ZIJ = \angle NBJ = \dfrac{\angle ABC}{2}$ olduğu için $IJ= \dfrac{IZ}{\cos ( \angle ABC/2 )}=\dfrac{b}{\cos ( \angle ABC/2 )}$

Bu soruda $\angle BAC=90^\circ$ olduğu için $IK=IM=AK=u-a=2$, $BK=u-b=4$ ve Pisagordan $BI=2\sqrt 5$ olduğu için $\cos ( \angle ABC/2 )=\dfrac{4}{2\sqrt 5}=\dfrac{2}{\sqrt 5}$ ve $IJ=4\sqrt 5$ elde edilir.

Not:
Sinüs Teoreminden $R$, $\triangle ABC$ nin çevrel yarıçapı olmak üzere $\dfrac{b}{\sin\angle  ABC}=2R$ olduğu için $IJ=\dfrac{b}{\cos ( \angle ABC/2 )}=\dfrac{2R\sin \angle ABC}{\cos ( \angle ABC/2 )}=4R\sin ( \angle ABC/2 )$ elde edilebilir.

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{B}$

$|BC|=10$ olduğunu biliyoruz. $B$, $I$ ve $J$'nin dogrusal olduğunu biliyoruz. $BI \cap AC=T$ olsun. $ABC$ üçgeninde $B$'ye göre iç açıortay teoreminden $|AT|=3$ olur. $|BT|=3\sqrt5$ elde edilir. $ABT$ üçgeninde $A$'ya göre iç açıortay teoreminden $|IT|=\sqrt5$ olur. Yine bu ücgende $A$'ya göre dış açıortay teoreminden $|TJ|=3\sqrt5$ olur. $|IJ|=|IT|+|TJ|$ olduğundan $|IJ|=4\sqrt5$ elde edilir.

[geo]

$ABC$ nin iç teğet çemberi $BC$ ye $T$ de dokunsun.
$|IT|=\dfrac{6+8+10}2-10=2$, $|CT|=6$. Pisagordan $|IC|=2\sqrt{10}$.

$\widehat{JIC}=\widehat {IJC}=45^\circ$.
$|IJ|=|IC|\sqrt 2 = 2\sqrt{10}\sqrt 2 =4\sqrt 5$.