Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 25

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde sırasıyla $[BC], [CA], [AB]$ kenarları üzerinde alınan $D,E,F$ noktaları için $s(\widehat{ABC})=s(\widehat{ADE})$ ve $s(\widehat{ADF})=s(\widehat{ACB})$ eşitlikleri sağlanmaktadır. $|AD|=3, |BD|=4, |CD|=6$ ise $|EF|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{30}{11}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{40}{11}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{20}{7}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{25}{7}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[alpercay]

Yanıt $\boxed{A}$

$\widehat {ABD}=\widehat {ADE}=\alpha$   , $\widehat {ADF}=\widehat {ACD}=\theta$  ve $\widehat {FAD}=\beta$ olsun.

$\triangle ABD$ üçgeninin $D$ dış açısı yani $\widehat {ADC}=\alpha+\beta$  olacağından $\widehat {EDC}=\beta$ olup $\triangle ADF$  ve $\triangle DCE$ üçgenleri benzerdir ve benzerlik oranları $3/6=1/2$ dir. O zaman $|AF|=x$ denirse $|DE|=2x$  olur.

$\triangle AFD$ üçgeninde $F$ dış açısı ve $\triangle DEC$ üçgeninde $E$ dış açısı $\beta+\theta$ olduğundan $\triangle AED$  ve $\triangle DFB$ üçgenleri benzerdir ve benzerlik oranları $3/4$ tür. Dolayısıyla $|FD|=k$ dersek $|AE|=3k/4$  ve $|BF|=8x/3$ olmalıdır.

Buna göre $AF/FB=AE/EC=3/8$  ve $\widehat {BAC}$ açıları ortak olduğundan $\triangle AFE$  ve $\triangle ABC$ üçgenleri de benzer olmalıdır. Benzerlik oranları yazılırsa $$|AF|/|AB|=|AE|/|AC|=|EF|/|BC|$$  $$3/11=|EF|/10$$  eşitliğinden $|EF|=30/11$ bulunur.

[geo]

$\widehat {EDF} = \widehat {ADE}+\widehat {ADF}=\widehat {ABC}+\widehat{ACB}=180^\circ - \widehat{BAC}$ olduğu için $AEDF$ kirişler dörtgenidir.
$\widehat{AFE}=\widehat{ADE}=\widehat {ABC}$ olduğu için $\triangle AFE \sim \triangle ABC$.
$FE$ ile $AD$, $G$ de kesişsin. $|AG|=3x$ dersek, benzerlikten $|FG|=4x$ ve $|GE|=6x$ olur.
$G$ noktasının $AEDF$ kirişler dörtgeninin çemberine göre kuvvetinden $|FG|\cdot |GE|=|AG|\cdot |GD| \Longrightarrow |GD|=8x$.
$|AD|=11x=3$ ve $|FE|=10x=10\cdot \dfrac 3{11}=\dfrac{30}{11}$.