Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 15

[matematikolimpiyati]

$x$ ve $y$ gerçel sayıları $$3x^2y+3y-1=3y^2x+3x-1=x^2y^2+x^2+y^2$$ denklem sistemini sağlamaktadır. $x+y$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt5  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 12$

[ibka00]

Çözüm ektedir

[alpercay]

Yanıt:$\boxed{D}$

$3y(x^2+1)=3x^2y+3y=x^2y^2+x^2+y^2+1=(x^2+1)(y^2+1)$  yani $y^2-3y+1=0$ olup buradan $y=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$  veya $y=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$ bulunur.

 Benzer olarak   $3x(y^2+1)=3xy^2+3x=x^2y^2+x^2+y^2+1=(x^2+1)(y^2+1)$ yani  $x^2-3x+1=0$ olup buradan $x=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$  veya  $x=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$ bulunur. Buna göre $x+y$ toplamı $3+\sqrt{5}$, $3-\sqrt{5}$ veya $3$ olacağından alabileceği değerler toplamı $9$ bulunur.

[alpercay]

(Resmi Çözüm) $1.$ ve $3.$ ifadelerin eşitliğinden $(x^2+1)(y^2-3y+1)=0$ ,  $2.$ ve  $3.$ ifadelerin eşitliğinden $(y^2+1)(x^2+3x+1)=0$ bulunur. Bu durumda iki sayı da $t^2-3t+1$ polinomunun kökleridir. Bu köklere $t_1,t_2$ dersek, $x+y$ nin alabileceği değerler

 $2t_1,t_1+t_2$  ve $2t_2$ olur. $t_1+t_2=3$ olduğu için bu sayıların toplamı $9$ olarak bulunur.

[geo]

$1.$ ve $2.$ ifadelerin eşitliğinden $3xy(x-y) - 3(x-y) = 3(xy-1)(x-y)$. Bu durumda ya $x=y$ ya da $xy=1$.

$x=y$ ise $2.$ ve $3.$ ifadelerin eşitliğinden $3x^3 + 3x - 1 = x^4 + 2x^2 \Rightarrow 3x(x^2+1) = (x^2+1)^2 \Longrightarrow 3x = x^2 + 1$. $x^2 -3x+1 = 0$ denkleminde $\Delta > 0$ olduğu için gerçel kökler vardır ve bunların toplamı Vieta'dan dolayı $3$ tür. Bu durumda $x+y=2x$ olduğu için $x+y$ nin alabileceği değerler toplamı, bu durum için, $6$ dır.

$xy=1$ ise $3y(xy) + 3x  = x^2 + y^2 + 2 = x^2 + y^2 + 2xy = (x+y)^2 \Longrightarrow 3(x+y) = (x+y)^2$. Burada $x+y=0$ ya da $x+y=3$ çıkar.
$x+y = 0$ ve $xy=1$ in sağlamadığını gösterelim. $y=-x \Longrightarrow xy = -x^2 = 1$ denkleminin gerçel kökü yoktur.
Peki, $x+y=3$ sağlar mı? $AO \geq GO$ dan $(x+y)^2 \geq 4xy = 4 \Longrightarrow |x+y| \geq 2$ şartından dolayı $x+y=0$ sağlamaz; ama $x+y=3$ sağlar.

Bu durumda $x+y$ nin alabileceği değerler toplamı $6+3= 9$ çıkar. $x+y=0$ durumunu kontrol etmeseydik, toplam yine $9$ çıkacaktı.