Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 13

[matematikolimpiyati]

Bir $ABCD$ paralelkenarında $\widehat A$ açısının iç açıortayı ile $\widehat B$ açısının iç açıortayı paralelkenarın içinde bir $E$ noktasında kesişmektedir. $BE$ ve $CD$ doğrularının kesişimi $[CD]$ kenarı üzerinde bir $F$ noktasıdır. $|AE|=15$, $|AB|=25$, $|BF|=24$ olduğuna göre $|BC|$ uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 14  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ 17  \qquad\textbf{e)}\ 18$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed {B}$

$\widehat A+\widehat B=180^{\circ}$  ve $\dfrac{\widehat A+\widehat B}{2}=90^{\circ}$  olduğundan $\widehat {AEB} =90^{\circ}$ ve Pisagor teoreminden $|BE|=20$ bulunur.

$BF$ ve $AD$ ışınlarını bir $G$ noktasında kesişecek biçimde uzatırsak $\triangle ABG$ üçgeni ikizkenar ve $|AG|=25$ ve $|EG|=20$ olacağından $|FG|=16$ bulunur.

$\triangle BCF$  ve $\triangle GFD$ üçgenleri benzer ve benzerlik oranları $\dfrac{3}{2}$ olduğundan $|FC|=3k$ , $|FD|=2k$ , $|BC|=|AD|=3x$,  $|DG|=2x$ diyebiliriz.

Bu durumda $|AG|=|AD|+|DG|=5x=25$  olacağından $|BC|=3x=15$ bulunur.

[geo]

$\widehat A+\widehat B=180^{\circ}$  ve $\dfrac{\widehat A+\widehat B}{2}=90^{\circ}$  olduğundan $\widehat {AEB} =90^{\circ}$ ve Pisagor teoreminden $|BE|=20$ bulunur.

$BF$ ve $AD$ ışınlarını bir $G$ noktasında kesişecek biçimde uzatırsak $\triangle ABG$ üçgeni ikizkenar ve $|AG|=25$ ve $|EG|=20$ olacağından $|FG|=16$ .

$DF\parallel AB$ olduğu için $\dfrac{|BF|}{|BG|}=\dfrac{|AD|}{|AG|} \Longrightarrow \dfrac{24}{40}=\dfrac{|AD|}{25} \Longrightarrow |AD| = 15$

Bu durumda $|BC|=|AD|=15$ olur.