Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 05

[matematikolimpiyati]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesindeki bir $D$ noktası için, $s(\widehat{DBC})=s(\widehat{BAC})=45^{\circ}$, $|BD|=5$, $|BC|=5\sqrt2$ ise $|AD|$ uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[emirhanys]

Cevap: $\boxed E$

$D$ noktasından $BC$'ye dik inersek ve bu noktaya $R$ dersek $|BR|=\frac{5\sqrt2}{2}$ olduğundan $BDC$ üçgeni ikizkenardir. $\angle{BDC}=90^\circ$ ve $\angle{BAC}=45^\circ$ olduğundan $D$ noktası çevrel merkezdir. $|AD|=5$ olur.

[geo]

$BD$, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini $E$ de kessin.
Aynı yayı gören çevre açıların eşitliğinden $s(\widehat{BEC})=s(\widehat{BAC})=45^\circ$. Dolayısıyla $BEC$ üçgeni ikizkenar dik üçgendir. $|BE|=10$ ve $|BD|=|DE|=5$. $s(\widehat{BCE})=90^\circ$ olduğu için $[BE]$ çaptır. Bu durumda $D$ çevrel çemberin merkezidir. $|AD|=|DB|=5$ olacaktır.

[geo]

$R$, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı olmak üzere; Sinüs Teoreminden $\dfrac{|BC|}{\sin \widehat A}=2R \Longrightarrow \dfrac{5\sqrt 2}{\dfrac 1{\sqrt 2}}=10=2R \Longrightarrow R=5$. Bu durumda $D$, üçgenin çevrel çemberinin merkezi olacaktır. $|AD|=R=5$.