Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 09

[matematikolimpiyati]

$|AB|<|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $\hat{A}$ açısının iç açıortayının $[BC]$ kenarı ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberiyle ikinci kesişim noktasına sırasıyla $D$ ve $E$ diyelim. $E$ noktasından $BC$ doğrusuna inen dikmenin $BC$ ve $AB$ doğruları ile kesişimi sırasıyla $F$ ve $G$ olsun. $D$ noktasından $AC$ ve $GC$ doğrularına inen dikme ayakları sırasıyla $K$ ve $L$ olmak üzere, $|DK|=3$ ve $|DL|=11$ ise $\dfrac{|DF|}{|FC|}$ oranı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{3}{11}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac47  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac37  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{4}{11}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3}{8}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{B}$

$|BF|=|FC|$ olduğu açıktır. Buradan $|GB|=|GC|$ elde edilir. $GBC$ üçgeni ikizkenardır. $D$ noktasından $AB$ ye inilen dikme ayağı $R$ olmak üzere $|DK|=|DR|=3$ olur. $\angle {GBC} = \angle {GCB}$ olduğundan $\triangle {LDC} \sim \triangle {RDB}$ olur ve $\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{3}{11}$ elde edilir. $F$ orta nokta olduğundan $\frac{|DF|}{|FC|}=\frac{4}{7}$ elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{B}$.

$\angle LCA=\alpha$  ve $\angle ACB=\beta$  diyelim. $CD=\dfrac{3}{\sin y}=\dfrac{11}{\sin (x+y)}$  olduğundan $\dfrac{\sin (x+y)}{\sin y}=\dfrac{AC}{AB}=11/3$  olur. $BF=FC$  de olduğundan $BD:DF:FC=3:4:7$  bulunur.