2021 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 14

[matematikolimpiyati]

$x,y,z >0$ ve $x^3+y^3+z^3=3$ olmak üzere,
$$S=18xyz+17x^3+6y^3$$
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

AGO Eşitsizliği ile $18xyz\leq x^3+12y^3+18z^3$  olduğundan
$$S=18xyz+17x^3+6y^3\leq 18(x^3+y^3+z^3)=54$$
elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Benzer bir soru için bkz: ABC Matematik Olimpiyatı 2024/6.

Problem:
$x^4+y^4+z^4=5$  eşitliğini sağlayan $x,y,z$  pozitif reel sayıları için $3x^4+8xyz^2$  ifadesinin maksimum değeri kaçtır?

Aritmetik-Geometrik Ortalama eşitsizliğiyle $8xyz^2\leq x^4+4y^4+4z^4$  olduğundan
$$3x^4+8xyz^2\leq 4(x^4+y^4+z^4)=20$$
elde edilir.

Not: Bu iki soruda da Aritmetik-Geometrik Ortalama eşitsizliği kullanılacağı açık olmakla beraber, eşitsizliğin sağı belirgin olmayabilir. Dolayısıyla örneğin Antalya sorusunda $S=18xyz+17x^3+6y^3\leq k(x^3+y^3+z^3)$  gibi bir $k>17$  değeri atanıp $k$  bulunabilir.