Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 22

[matematikolimpiyati]

İki basamaklı kaç $n$ pozitif tam sayısı için $7x^2+2y^2=3^n$ eşitliğini sağlayan $(x,y)$ pozitif tam sayı ikilisi bulunur?

$\textbf{a)}\ 90  \qquad\textbf{b)}\ 75  \qquad\textbf{c)}\ 72  \qquad\textbf{d)}\ 60  \qquad\textbf{e)}\ 45$

[vedatde]

$x=3^ac$ , $y=3^bd$ , $c$ ve $d$  $3$ çarpanını içermeyen sayılar  ve  $a≤b$ olsun.   
Verilen denklem $3^{2a}7c^2+3^{2b}2d^2=3^n$ olur.
$3^{2a}\left(7c^2+3^{2b-2a}2d^2\right)=3^n$
$\left(7c^2+3^{2b-2a}2d^2\right)=3^t$ olur. Bu denklemi Mod 3 göre incelersek     
$7c^2+0\equiv0$ Mod 3
ve $c$  $3$’ün bir kuvveti olmalıdır. Çelişki. Öyleyse $a=b$ dir.     
$3^{2a}\left(7c^2+{2d}^2\right)=3^n$ olur.
$\left(7c^2+{2d}^2\right)=3^{n-2a}$ olur. İlk orijinal denklemin benzerini bulduk.
Bu şekilde indirgeyerek çözümlemeye devam edersek  $c=d=1$ bulunur ve
$n-2a=2$ olur ve n çift sayı olmak zorundadır.     
Öyleyse $n=2k$ ve $n=10,12,14,….,96,98$ iken  $k=5,6,7,…,43,49$ ve
$x= 3^k$ ve $y=3^k$ şeklinde olur. 
$49-5+1= 45$ tane $n$ değeri için  $(x,y)$  pozitif sayı ikilisi vardır.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Denklemi modülo $7$'de incelersek $2y^2 \equiv 3^n \pmod{7}$ olur. $n=1,2,3,6,5,6$ değerleri için sırasıyla $3^n \equiv 3, 2, 6, 4, 5, 1 \pmod{7}$ değerlerini alır. $3^n$ ifadesi modülo $7$'de periyodik olup, periyodu $6$'dır. $y \equiv 0, \mp 1, \mp 2, \mp 3 \pmod{7}$ değerleri için de $2y^2 \equiv 0, 2, 1, 4 \pmod{7}$ elde edilir. Dolayısıyla $n$ pozitif tam sayısının tek sayı değerlerinde $2y^2 \not\equiv 3^n \pmod{7}$ olduğunu anlıyoruz. $n$ çift sayı olmalıdır.

Bu aşamada önemli soru şudur: $n$'nin hangi pozitif çift sayı değerlerinde $7x^2 + 2y^2 = 3^n$ denkleminin $(x,y)$ pozitif tam sayı çifti çözümü bulunur? Bunun için $n=2$ incelenirse $x=y=1$ için kolayca $7x^2 + 2y^2 = 3^2$ sağlandığı görülür. Buradan alınan ilhamla, $x=y=3^k$, $k\geq 0$ tam sayı olmak üzere $7x^2 + 2y^2 = 9\cdot 3^{2k} = 3^{2k+2}$ olup $n=2k+2$ pozitif çift sayısı elde edilir. Yani her $n$ pozitif çift sayısı için $(x,y)$ pozitif tam sayı çifti çözümler vardır. $10\leq n < 100$ aralığından $45$ tane (iki basamaklı) çift sayı bulunur.