Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 29

[geo]

$ABCD$ kirişler dörtgeninin $AC$ ve $BD$ köşegenleri $M$ noktasında kesişiyor. $|AB| = 5$, $|CD| = 3$, $m(\widehat{AMB}) = 60^\circ$ ise, dörtgenin çevrel çemberinin yarı çapının uzunluğu nedir?

$
\textbf{a)}\ 5\sqrt 3
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{7\sqrt 3}3
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{34}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$AD'=DC=3$ olacak şekilde $AD'DC$ ikizkenar yamuğunu çizelim.
$\angle ABD = \angle ACD = \angle CAD'$ ve $\angle BAM + \angle ABM =120^\circ = \angle BAD'$ dir. $\triangle D'AB$ de Kosinüs Formülünden $BD'^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac {-1}{2} \Rightarrow BD'=7$ elde edilir.
$O$ çevrel merkez olmak üzere; $\angle D'OB = 120^\circ$ ve $OB=\dfrac 7{\sqrt 3}$ dir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{B}$.

$\angle ADB=\alpha$  diyelim. O zaman $\dfrac{\sin \alpha}{\sin (60^{\circ}-\alpha)}=\dfrac{5}{3}$  olur. Öte yandan $t=\sin \alpha$  için $\sin (60^{\circ}-\alpha)=\dfrac{1}{2}{\sqrt{3(1-t^2)}-t}$  elde edilir. Dolayısıyla
$$\dfrac{\sin \alpha}{\sin (60^{\circ}-\alpha)}=\dfrac{2t}{\sqrt{3(1-t^2)}-t}=\dfrac{5}{3}$$
$$11t=5\sqrt{3(1-t^2)}$$
$$t=\dfrac{5\sqrt{3}}{14}$$
bulunur. $\dfrac{5}{\sin \alpha}=\dfrac{14}{\sqrt{3}}=2R$  olduğundan $R=\dfrac{7}{\sqrt{3}}$  olarak elde edilir.